Primer Pretorneo 2016 NM P1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
LuchoLP

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Primer Pretorneo 2016 NM P1

Mensaje sin leer por LuchoLP » Mar 26 Abr, 2016 10:15 pm

Sea $p$ un número primo. Determinar la cantidad de enteros positivos $n$ tales que $pn$ es un múltiplo de $p+n$.

4 PUNTOS

Heibor

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Re: Primer Pretorneo 2016 NM P1

Mensaje sin leer por Heibor » Mar 26 Abr, 2016 10:36 pm

Spoiler: mostrar
Primero lo representamos como una ecuación:
[math]
Si [math] entonces:
[math]
[math], en donde [math] o [math] es mayor a [math] por lo cual la afirmación es falsa es decir:
[math]
Proseguimos con:
[math]
[math]
[math]
Como [math] es un numero entero positivo y [math] tambien lo es entonces [math] debe ser un entero positivo por lo cual o [math] o [math]
Para que [math], debe ser mayor o igual a [math], cosa que refutamos anteriormente, o debe ser [math] pero entonces [math] o [math] deben ser [math] lo cual no tiene sentido.
Entonces tenemos que [math], por lo cual podemos representarlo como [math], es decir [math] por algo.
Entonces nos queda que:
[math]
[math]
[math]
[math]
Como [math] es entero positivo, concluimos que [math]
Luego tenemos que:
[math]
[math]
De donde [math] y [math] son enteros positivos, y [math] es primo por lo cual [math] es falso, entonce [math].
Si [math] y [math] y ambos son enteros positivos, entonces [math]
Por ultimo nos queda que:
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
Luego como [math]
[math]
[math]
Es decir hay un solo [math] para cada [math].
Última edición por Heibor el Mar 26 Abr, 2016 11:36 pm, editado 1 vez en total.

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Emerson Soriano

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Re: Primer Pretorneo 2016 NM P1

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Mar 26 Abr, 2016 11:06 pm

Spoiler: mostrar
Sea [math] un entero positivo tal que [math], entonces [math]. Pero, como [math], entonces [math], y por ende [math] es el único valor que cumple.
Última edición por Emerson Soriano el Sab 01 Abr, 2017 11:24 pm, editado 1 vez en total.
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LuchoLP

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Re: Primer Pretorneo 2016 NM P1

Mensaje sin leer por LuchoLP » Mié 27 Abr, 2016 12:03 pm

Emerson Soriano escribió:
Spoiler: mostrar
Sea [math] un entero positivo tal que [math]
Es [math] en lugar de [math] en el lado izquierdo, no?

LuchoLP

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Re: Primer Pretorneo 2016 NM P1

Mensaje sin leer por LuchoLP » Mié 27 Abr, 2016 12:55 pm

Spoiler: mostrar
[math][math] [math] [math] [math] [math] [math] [math] [math]. Los divisores de [math] son [math], [math] y [math]. Como [math] es mayor que los dos primeros, debe ser [math], de donde [math]. Concluímos que hay un único [math] para cada [math] y listo.
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Tomás Morcos Porras

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Re: Primer Pretorneo 2016 NM P1

Mensaje sin leer por Tomás Morcos Porras » Mar 15 Sep, 2020 6:47 pm

Hoy me quejé de que no me salen los problemas de Pretorneos, así que subo mi solución de un problema de Pretorneo. Mi segundo nombre es coherencia. 8-)
Spoiler: mostrar
Si $p+n|pn$, como $p+n|p(p+n)=p^2+pn$, se da que $p+n|-p^2$ y $p+n|p^2$.
Luego, sea $k$ un entero tal que $k(p+n)=p^2\implies p+n=\frac{p^2}{k}$. Como $p+n$ es entero, $\frac{p^2}{k}$ también lo es, y $k$ divide a $p^2$. Los divisores de $p^2$ son $1$, $p$ y $p^2$.
Caso 1: $k=1$.
$p+n=p^2\implies n=p^2-p$ arroja una única solución por cada valor de $p$.
Caso 2: $k=p$.
$pn+p^2=p^2\implies pn=0$, absurdo.
Caso 3: $k=p^2$
$p^2n+p^3=p^2\implies n+p=1$, absurdo.
Si $p+n|pn$, entonces $p+n|p^2$, y esto implica que $n=p^2-p$, por lo que la condición del enunciado necesita $n=p^2-p$.
Veamos por último que $n=p^2-p$ siempre funciona: $p+p^2-p|p(p^2-p)\implies p^2|p^2(p-1)$
Así, queda que hay un único valor de $n$ que satisface para cada $p$.
¡Feliz cumpleaños a todos los que cumplen hoy y feliz no cumpleaños a todos los que no cumplen hoy!

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