Zonal 2016 Nivel 3 Problema 1

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Fran5

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Zonal 2016 Nivel 3 Problema 1

Mensaje sin leer por Fran5 » Jue 30 Jun, 2016 7:06 pm

Agustín hizo la lista de los números racionales positivos de la forma $\frac{x}{17}$, con $x$ un número natural coprimo con $17$, y tales que $\frac{x}{17}$ sea menor que $17$.
Calcular la suma de todos los números de la lista de Agustín.

Aclaración: Dos números son coprimos si su máximo común divisor es $1$.
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bruno
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Re: Zonal 2016 Nivel 3 Problema 1

Mensaje sin leer por bruno » Jue 30 Jun, 2016 7:37 pm

Spoiler: mostrar
Dado que [math] es primo sera coprimo todo numero que no sea multiplo de [math]

Si [math] entonces [math] siendo [math] un numero natural , por lo que [math].

La sumatoria [math] donde [math] es el i-esimo numero natural se calcula por gauss:

[math].

Luego hay que restarle todas las fracciones [math] donde [math] sea multiplo de [math]. Ademas como [math] , estas fracciones seran los naturales desde [math] hasta [math] inclusive. La suma [math] por Gauss

Luego la suma pedida es [math]
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facujcabral
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Re: Zonal 2016 Nivel 3 Problema 1

Mensaje sin leer por facujcabral » Jue 30 Jun, 2016 8:02 pm

Bruno. Por que hiciste la sumatoria desde 1 hasta 288 arriba, dividido 17. ??
Yo lo que hice fue hacer la sumatoria de 1/17 + 2/17+....+ 288/17
Y a eso le resté la sumatoria de los multiplis de 17.( 17/17 + 34/17+.......)
Y me da distinto. Quizas entendí mal el enunciado
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Matías V5

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Re: Zonal 2016 Nivel 3 Problema 1

Mensaje sin leer por Matías V5 » Jue 30 Jun, 2016 8:20 pm

facujcabral escribió:Bruno. Por que hiciste la sumatoria desde 1 hasta 288 arriba, dividido 17. ??
Yo lo que hice fue hacer la sumatoria de 1/17 + 2/17+....+ 288/17
Y a eso le resté la sumatoria de los multiplis de 17.( 17/17 + 34/17+.......)
Y me da distinto. Quizas entendí mal el enunciado
Debería darte lo mismo. Lo que Bruno está usando es que [math] es lo mismo que [math].
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facujcabral
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Re: Zonal 2016 Nivel 3 Problema 1

Mensaje sin leer por facujcabral » Vie 01 Jul, 2016 2:12 am

Matías V5 escribió:
facujcabral escribió:Bruno. Por que hiciste la sumatoria desde 1 hasta 288 arriba, dividido 17. ??
Yo lo que hice fue hacer la sumatoria de 1/17 + 2/17+....+ 288/17
Y a eso le resté la sumatoria de los multiplis de 17.( 17/17 + 34/17+.......)
Y me da distinto. Quizas entendí mal el enunciado
Debería darte lo mismo. Lo que Bruno está usando es que [math] es lo mismo que [math].
Si seguramente habré puesto mal algo en la calculadora . gracias!!!

Nowhereman

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Re: Zonal 2016 Nivel 3 Problema 1

Mensaje sin leer por Nowhereman » Dom 03 Jul, 2016 3:53 pm

a mi me dio [math] para todo p primo (incluido el 17 :) ).

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FaC7oR
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Re: Zonal 2016 Nivel 3 Problema 1

Mensaje sin leer por FaC7oR » Vie 08 Jul, 2016 12:29 am

Nowhereman escribió:a mi me dio [math] para todo p primo (incluido el 17 :) ).
EDIT: Le erré a la cuenta, está bien lo que decís, llegué a lo mismo jaja
[math]

[math]

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Gianni De Rico

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Re: Zonal 2016 Nivel 3 Problema 1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 16 Jun, 2017 8:40 pm

Spoiler: mostrar
Como [math] es primo, los únicos números que no son coprimos con [math] son los múltiplos de [math]. Para que [math] necesariamente [math] entonces se tiene que [math]. Cuando [math] no es coprimo con [math], [math] es un número entero, y como [math] se tiene [math]. Por lo tanto, la suma de los números de la lista es [math]
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

ioaki
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Re: Zonal 2016 Nivel 3 Problema 1

Mensaje sin leer por ioaki » Jue 24 Sep, 2020 6:03 pm

Dado que los únicos números que NO son coprimos con 17 son los múltiplos del mismo, se puede ver que si sumamos todos números de la forma x/17 dónde 1<=x<=17 (17 ya que el problema especifica que x/17<17 y el máximo x es 17) y luego restamos todos los múltiplos sumados nos queda: 289*290/2/17-17*18/17 = 2312.
Todos tenemos ese síndrome en distinta medida.
Nunca permitas que te prohíban quejarte.

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