Los restos$\mod 7$ de las primeras $7$ potencias de $10$ son $1,3,2,6,4,5,1$, si llamamos $a_1,\ldots ,a_7$ a los dígitos del número entonces lo que buscamos es que
Ahora vamos a separar los posibles números en grupos de la siguiente forma.
Agarramos un número y le restamos $1$ a cada uno de sus dígitos excepto al $1$ que lo reemplazamos por un $7$, si repetimos esto $7$ veces volvemos al números original y todos los números por los que pasamos van a formar parte del grupo, algunos ejemplos son.
Cómo tenemos $7!$ números estamos armando $6!=720$ grupos, ahora veamos que pasa con la ecuación de arriba para los números de un grupo.
$(a_1-a_4)+2(a_5-a_2)+3(a_6-a_3)$ mantiene su resto constante ya que
$(a_1-1-(a_4-1))+2(a_5-1-(a_2-1))+3(a_6-1-(a_3-1))\equiv(a_1-a_4)+2(a_5-a_2)+3(a_6-a_3)\pmod 7$
Llamamos $r$ a ese resto entonces buscamos los números en ese grupo que cumplen que
$r+a_7\equiv 0\pmod 7$
Pero como para cada número del grupo $a_7$ tiene un resto distinto y esa ecuación solo admite un resto como solución tenemos que exactamente un número del grupo cumple la ecuación y como la cantidad de grupos es $720$ la cantidad de números que buscamos también es $720$.
