Regional 2017 N2 P2

[Dauphineg]

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Primero que nada chequeamos el caso de [math]n=1, como [math]1 no tiene divisores distintos de él y de [math]1 podemos decir que 1 verifica el pedido del problema (de cualquier manera supongo que quedara sujeto a la decisión de OMA de aceptarlo o no y que no definira ésto si una alumno obtiene o no el punto en este problema)
Si [math]n es distinto a 1 entonces tendrá descomposición en primos y por ende habrá un divisor (que sera claramente primo) mas chico que divida a [math]n que llamaremos [math]p,
esto obligara a que el numero [math]\frac{n}{p} sea el mayor divisor de [math]n
Entonces [math]n-20\leq\frac{n}{p} y de aca sale que [math]n\leq\frac{20.p}{p-1} (1)
Ademas [math]p\leq n-12 o lo que es igual [math]p+12\leq n (2)
De (1) y (2) sale que [math]p^2-9.p-12\leq0 y esto solo ocurre para [math]p=2 , [math]p=3 , [math]p=5 , [math]p=7
[math]p=2 entonces [math]n-20\leq2 y ademas [math]\frac{n}{2}\leq n-12, o lo que es lo mismos [math]n\leq22 y [math]24\leq n, pero ningún [math]n verifica esto!!
[math]p=3 entonces [math]n-20\leq3 y ademas [math]\frac{n}{3}\leq n-12, o lo que es lo mismos [math]n\leq23 y [math]18\leq n , como [math]3 deber ser el divisor mas pequeño de [math]n que ademas no debe ser primo, nos quedamos con [math]n=21 como una posibilidad y es fácil ver que este numero verifica el problema
[math]p=5 entonces [math]n-20\leq5 y ademas [math]\frac{n}{5}\leq n-12, o lo que es lo mismos [math]n\leq25 y [math]15\leq n , como [math]5 deber ser el divisor mas pequeño de [math]n que ademas no debe ser primo, nos quedamos con [math]n=25 como una posibilidad y es fácil ver que este numero verifica el problema
[math]p=7 entonces [math]n-20\leq7 y ademas [math]\frac{n}{7}\leq n-12, o lo que es lo mismos [math]n\leq27 y [math]14\leq n , como [math]7 deber ser el divisor mas pequeño de [math]n que ademas no debe ser primo, no tenemos ninguna posibilidad aquí!!
Lo únicos valores de [math]n que verifican el enunciado son [math]1, [math]21 y [math]25

[LucasRakita]

A mi me dió que

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d podia valer entre 2 y 10 y que n valia entre 22 y 30

[Junior 2000]

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Yo plantee que si un nro era divisible por los numeros del 2 al 9, era mayor a 29 y no era primo, no cumplía con la desigualdad por que al restarle 20 al número siempre quedaba un resto mayor al divisor, entonces el número tendría que ser una multiplicación entre primos mayores a 7, pero estos dan un resultado de 3 cifras o más, los únicos números que pueden cumplir esta condición son menores a 29 e impares por que cualquier número par mayor a 22 cuando le restas 20 queda resto mayor a 2 , después como los divisores eran positivos, el número tiene que ser mayor a 12, los únicos dos números que coinciden con la desigualdad son 21 (7*3) y 25 (5²)

Excelente planteo, yo lo hice similar dando

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21 y 25

[maxi2002]

Porque puede ser 1 si el divisor debe ser positivo y no debe ser 1? Aparte 1 se divide por 1 unicamente. Para mi la respuesta correcta es

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21 y 25.

En lo que escribo me parece no tener dudas.

[Matías]

Porque puede ser 1 si el divisor debe ser positivo y no debe ser 1? Aparte 1 se divide por 1 unicamente. Para mi la respuesta correcta es

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21 y 25.

En lo que escribo me parece no tener dudas.

Pasa que la desigualdad se aplica a los divisores $d$ de $n$ distintos de 1 y de $n$. Como el único divisor del 1 es igual a $n$ y es igual a 1, no hay divisores del 1 a los que aplicarle la desigualdad... entonces cumple (ya que podemos decir que todos sus divisores distintos de 1 y de $n$ (los cuales no tiene) cumplen con la desigualdad). Está la restricción de que $n$ no puede ser primo (que impide que todos los primos cumplan, porque sino también cumplirían) pero el 1 no es primo.

[maxi2002]

Porque puede ser 1 si el divisor debe ser positivo y no debe ser 1? Aparte 1 se divide por 1 unicamente. Para mi la respuesta correcta es

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21 y 25.

En lo que escribo me parece no tener dudas.

Pasa que la desigualdad se aplica a los divisores $d$ de $n$ distintos de 1 y de $n$. Como el único divisor del 1 es igual a $n$ y es igual a 1, no hay divisores del 1 a los que aplicarle la desigualdad... entonces cumple (ya que podemos decir que todos sus divisores distintos de 1 y de $n$ (los cuales no tiene) cumplen con la desigualdad). Está la restricción de que $n$ no puede ser primo (que impide que todos los primos cumplan, porque sino también cumplirían) pero el 1 no es primo.

Y entonces para que ponen: n-20<d<n-12, cuando no hace falta para 1. Solamente para confundir?

[Matías]

Porque puede ser 1 si el divisor debe ser positivo y no debe ser 1? Aparte 1 se divide por 1 unicamente. Para mi la respuesta correcta es

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21 y 25.

En lo que escribo me parece no tener dudas.

Pasa que la desigualdad se aplica a los divisores $d$ de $n$ distintos de 1 y de $n$. Como el único divisor del 1 es igual a $n$ y es igual a 1, no hay divisores del 1 a los que aplicarle la desigualdad... entonces cumple (ya que podemos decir que todos sus divisores distintos de 1 y de $n$ (los cuales no tiene) cumplen con la desigualdad). Está la restricción de que $n$ no puede ser primo (que impide que todos los primos cumplan, porque sino también cumplirían) pero el 1 no es primo.

Y entonces para que ponen: n-20<d<n-12, cuando no hace falta para 1. Solamente para confundir?

Lamentablemente sí, igual creo que nos van a poner un 1-, no nos pueden poner 0 por eso.

[LucasRakita]

[/quote]Y entonces para que ponen: n-20<d<n-12, cuando no hace falta para 1. Solamente para confundir?[/quote]

Lamentablemente sí, igual creo que nos van a poner un 1-, no nos pueden poner 0 por eso.[/quote]
Por qué lo decís?

[bmth2001]

a mí me dio que N podía ser cualquier número entre 14 y 40 siempre y cuando no fuese primo.

N N-20 < o = d < o = N-12
14 // -6 < 2 = 2
15 // -5 < 3 = 3
16 // -4 < 2 < 4
...
40 // 20 = 20 < 28

[18dieciocho]

Es fácil ver que uno funciona por lo que 1 es primo. Luego si n es mayor o igual a 13 uno esta incluido en el rango por lo que para estos n funciona. Es fácil ver que entre 2 y 12 no funciona ninguno porque si no tendría todos sus divisores negativos pero no los tiene porque si no sería positivo. Entonces funciona para 1 y los números mayores iguales a 13