Problema 4 - Selectivo Iberoamericana 2011

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Nacho

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Problema 4 - Selectivo Iberoamericana 2011

Mensaje sin leer por Nacho » Vie 05 Ago, 2011 11:42 pm

¿Cuántos enteros positivos [math] son divisibles por [math] y tienen exactamente [math] divisores positivos (contando a [math] y a [math])?
"Though my eyes could see I still was a blind man"

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Martín Vacas Vignolo
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Re: Problema 4 - Selectivo Iberoamericana 2011

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo » Sab 06 Ago, 2011 12:09 am

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Bueno, no puedo creer que hayan tomado esto jaja.

Sea [math]
Entonces si [math] tiene exactamente [math] divisores tenemos:
[math]

Pero [math] ( la mejor factorización que vi en mi vida :D ), por lo tanto esa multiplicación tiene a lo sumo [math] factores.

Veamos que tiene que tener exactamente [math] factores:
Supongamos que tiene [math] ([math] o [math] es lo mismo), entonces [math], pero [math] y, como sabemos que los divisores de un número [math] tienen que tener exactamente los mismos factores primos en su factorización que el número [math] (pueden estar elevados a la cero y "no aparecer"), tenemos que [math] tiene que tener todos los factores primos de [math], que son exactamente [math] (y ninguno está a la cero). Por lo tanto [math] no puede ser un producto de una cantidad menor que [math] primos distintos.

Entonces [math] y como [math] lo divide [math], [math], [math] y [math] tienen que ser [math], [math], [math] y [math] en algún orden (notar que los exponentes serán [math], [math], [math] y [math] (pues le tengo que restar 1 a todos).

Buen, son [math] posibilidades. No las pienso escribir xD
[math]

Ale.p
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Re: Problema 4 - Selectivo Iberoamericana 2011

Mensaje sin leer por Ale.p » Mar 14 Ene, 2020 11:11 pm

Podemos ver que la factorizacion en primos de 2010 es 2.3.5.67, con lo cual n es dicha factorizacion multiplicado por algun otro numero.
Llamemos a,b,c y d a los exponentes de 2,3,5 y 67 respectivamente.
Como n debe tener 2010 divisores,
(a+1).(b+1).(c+1).(d+1)=2010. Por lo que estos 4 numeros pueden ser 2/3/5/67.
Por ultimo todas las maneras de ubicar estos 4 numeros son 4!=24.
Rta: Hay 24 numeros n.

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