Voy a buscar demostrar que la función es lineal, y recordemos que la pendiente de una función lineal se calcula de esta forma: $\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} = m$
Voy a buscar demostrar que la función es lineal, y recordemos que la pendiente de una función lineal se calcula de esta forma: $\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} = m$
Veamos que $2027$ es el primer primo después de $2018$, luego $a_{2018} = a_{1009}+1009 \Rightarrow a_{1009} = 1018$.
Veamos que $a_1 +1 = a_2$ y por inducción si $a_{2^k} = a_1+2^k-1 \Rightarrow a_{2^k+1} = a_{2^k}+2^k$$ \underset{\text{hip. ind.}}{=} a_1+2^k-1+2^k = a_1+2^{k+1}-1$
$\blacksquare$
Se sigue que $a_{1024} = a_1+1023$ y como $a_{1009} = 1018 < a_{1010} < \dots < a_{1024} = a_1+1023$, entonces en el caso optimo son números consecutivos, luego $a_{1009} = 1018 < 1019 < \dots < 1032 < a_{1024} = a_1+1023 \Rightarrow a_1 > 9 \Rightarrow a_1 \geq 10$
Ahora consideremos la sucesión definida por $a_{n+1} = a_n+1$ y $a_1 = 10$, podemos ver que cumple, pues $a_{n+2} = a_{n+1} +1 = a_n+2 \Rightarrow a_{n+3} = a_{n+2}+1 = a_{n}+3 \Rightarrow \dots \Rightarrow a_{2n} = a_n+n$, de donde $a_1 = 10, a_2 = 11, a_3 = 12, \dots , a_{101} = 110$, por Gauss podemos ver que su suma es $\frac{110.111}{2} - \frac{9.10}{2} = 6060$ por lo tanto $n = 101$ cumple la condición del problema. Ahora, demostremos que es la única solución.
Como $9 < a_1 < a_2 < \dots < a_{1009} = 1018$ entonces en el mejor caso, son números consecutivos, de donde $a_{1008} \geq a_{1007}+1 \geq a_{1006}+2 \geq \dots \geq a_1+1007 \geq 1017$, pero entonces $a_{1009} = 1018 > a_{1008} \geq 1007$ de donde necesariamente todos los números deben ser consecutivos, precisamente, como mostré en el ejemplo de antes.
