26º Olimpiada Iberoamericana 2011. Problema 2.

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
AgustinChenna.

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2021
Mensajes: 188
Registrado: Mié 03 Ago, 2011 9:23 pm
Medallas: 1
Nivel: Ñandú

26º Olimpiada Iberoamericana 2011. Problema 2.

Mensaje sin leer por AgustinChenna. »

Encontrar todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen tres números enteros no nulos $x,y,z$ tales que:$$x+y+z=0$$y$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{n}$$
felipe94in
Mensajes: 18
Registrado: Dom 16 Ene, 2011 1:59 am

Re: 26º Olimpiada Iberoamericana 2011. Problema 2.

Mensaje sin leer por felipe94in »

Problema 2
Spoiler: mostrar
Respuesta: ninguno
Afirmación. [math]
Dem. Trivial, solo expandir y usar ambas hipotesis.
Definimos [math] enteros, y asuma que [math] distinto de 1.
Tenemos que [math] y por lo anterior [math].
Ahora de [math] deducimos haciendo los cambios que [math] cuando [math] distinto de 1 (solo expandir y en algun momente estamos dividiendo por [math]), pero
[math]
de donde [math] porque ([math] implica [math]) , de aquí [math] pero entonces [math], absurdo. Luego veamos con [math].
Tenemos [math] de acá que alguno de [math] es [math] y se ve que eso tambien nos da un absurdo, de ahí la respuesta.
Siento que definitivamente esta NO es la respuesta :roll:
En efecto esta mal pero fixié, editando
Avatar de Usuario
Matías V5

Colaborador-Varias OFO - Jurado-OFO 2015 OFO - Jurado-OFO 2016 FOFO 6 años - Jurado-FOFO 6 años OFO - Jurado-OFO 2017
OFO - Jurado-OFO 2018 OFO - Jurado-OFO 2020 OFO - Jurado-OFO 2021
Mensajes: 1114
Registrado: Dom 17 Oct, 2010 4:44 pm
Medallas: 8
Nivel: Exolímpico

Re: 26º Olimpiada Iberoamericana 2011. Problema 2.

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Creo que el error está acá, cuando decís
Spoiler: mostrar
felipe94in escribió:Problema 2
Ahora de [math] deducimos haciendo los cambios que [math] cuando [math] distinto de 1 (solo expandir y en algun momente estamos dividiendo por [math]),
me parece que está mal porque
Spoiler: mostrar
[math]
y no veo por qué ese último término da [math], lo único que sabés es que es igual a [math]
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
felipe94in
Mensajes: 18
Registrado: Dom 16 Ene, 2011 1:59 am

Re: 26º Olimpiada Iberoamericana 2011. Problema 2.

Mensaje sin leer por felipe94in »

Matías V5 escribió:Creo que el error está acá, cuando decís
Spoiler: mostrar
felipe94in escribió:Problema 2
Ahora de [math] deducimos haciendo los cambios que [math] cuando [math] distinto de 1 (solo expandir y en algun momente estamos dividiendo por [math]),
me parece que está mal porque
Spoiler: mostrar
[math]
y no veo por qué ese último término da [math], lo único que sabés es que es igual a [math]
Si si ya me di cuenta
Avatar de Usuario
Martín Vacas Vignolo
Mensajes: 404
Registrado: Mié 15 Dic, 2010 6:57 pm
Nivel: Exolímpico

Re: 26º Olimpiada Iberoamericana 2011. Problema 2.

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo »

Ya edité
Spoiler: mostrar
Por notación nada más usaré [math], [math], [math].
Sea [math], el polinomio de raíces [math], [math] y [math]. Desarrollando [math]. Usando (1) tenemos que:
[math].
De (2) sacamos que:
[math]. Entonces:
[math].Sacando factor común:
[math]. Entonces como [math], [math] y [math] son las raíces de [math], para [math] se cumple que:
[math].
De donde sacamos:
I) [math],
II) [math] y
III) [math].

Sumando las 3:
[math],
IV) [math].

Del enunciado es fácil ver que a, b y c no pueden ser los 3 negativos (ya que [math] es positivo). De IV) es fácil ver que de a, b y c una cantidad impar tienen que ser negativos (ya que el miembro izquierdo es positivo). Por lo tanto afirmo que exactamente 1 de los 3 es negativo. Supongamos que es [math], entonces [math] (por 1).

Entonces:
[math](!).

Entonces:
[math] . Ahora, [math] tiene que dividir a [math] (ya que no divide a [math]) por lo que [math] tiene que dividir a [math]. De donde [math] tiene que dividir a [math] Y eso pasa sí y sólo sí [math] y son pares.

Ahora: de (!) tenemos que: (tomando a como positivo y cambiando el signo)
[math] y eso no se cumple para ningún [math] par distinto de cero.



Finalmente concluyo que no existen [math], [math] y [math] que cumplan lo pedido.
Última edición por Martín Vacas Vignolo el Jue 29 Sep, 2011 6:39 pm, editado 3 veces en total.
[math]
Avatar de Usuario
Martín Vacas Vignolo
Mensajes: 404
Registrado: Mié 15 Dic, 2010 6:57 pm
Nivel: Exolímpico

Re: 26º Olimpiada Iberoamericana 2011. Problema 2.

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo »

Hay un error, en un rato lo veo
[math]
Avatar de Usuario
Matías V5

Colaborador-Varias OFO - Jurado-OFO 2015 OFO - Jurado-OFO 2016 FOFO 6 años - Jurado-FOFO 6 años OFO - Jurado-OFO 2017
OFO - Jurado-OFO 2018 OFO - Jurado-OFO 2020 OFO - Jurado-OFO 2021
Mensajes: 1114
Registrado: Dom 17 Oct, 2010 4:44 pm
Medallas: 8
Nivel: Exolímpico

Re: 26º Olimpiada Iberoamericana 2011. Problema 2.

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Fíjense que todos los [math] pares funcionan: si [math], basta tomar [math], [math].
Ahora intenten demostrar que [math] tiene que ser necesariamente par. Si no sale, posteo la solución que me contó Daniel Kohen =P
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
Avatar de Usuario
Martín Vacas Vignolo
Mensajes: 404
Registrado: Mié 15 Dic, 2010 6:57 pm
Nivel: Exolímpico

Re: 26º Olimpiada Iberoamericana 2011. Problema 2.

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo »

Acabo de llegar. Sí, hoy en el cole encontré la solu con [math]. Tengo que revisar dónde está el error
[math]
felipe94in
Mensajes: 18
Registrado: Dom 16 Ene, 2011 1:59 am

Re: 26º Olimpiada Iberoamericana 2011. Problema 2.

Mensaje sin leer por felipe94in »

Spoiler: mostrar
Vamos a demostrar que con [math] impar no hay soluciones. De [math] se duduce que [math] no pueden ser todos impares, y de [math] se deduce que [math] son todos pares (porque si wlog [math] es par, entonces se sigue que [math], pero si exactamente 2 de [math] son pares obtenemos contradiccion de [math]).
Escriba [math] con [math] y [math] enteros impares, ademas suponga wlog que [math]. Entonces [math] entonces si [math] obtenemos un absurdo, separaremos en dos casos (no excluyentes)
Caso 1. [math]. Acá [math] un absurdo porque de ser así [math].
Caso 2. [math]. Acá [math] pero el lado izquierdo es impar y el derecho par, contradicción. Luego no hay solución con [math] impar, y para [math] par Matías ya dio solución.
Ahora creo ke esta bn...
Avatar de Usuario
Emerson Soriano

OFO - Mención-OFO 2015 OFO - Medalla de Oro-OFO 2016 OFO - Medalla de Plata-OFO 2017 OFO - Medalla de Bronce-OFO 2018 OFO - Mención-OFO 2020
OFO - Medalla de Plata-OFO 2022
Mensajes: 826
Registrado: Mié 23 Jul, 2014 10:39 am
Medallas: 6

Re: 26º Olimpiada Iberoamericana 2011. Problema 2.

Mensaje sin leer por Emerson Soriano »

Spoiler: mostrar
Supongamos que para cierto [math] existen enteros no nulos [math] tales que [math], luego se tiene que [math]...[math]. Ahora, supongamos que [math], tal que [math] y [math], entonces la expresión [math] queda de la siguiente manera: [math]...[math], note que [math] y [math] son coprimos con [math], por lo tanto [math], es decir, existe un entero [math] tal que [math], luego, la expresión [math] queda de la siguiente manera: [math], donde fácilmente se ve que [math] es par, pues [math] siempre es par. Luego, el ejemplo de Matías que termina de probar que todos los pares cumplen.
Responder