Problema 1 Nivel 2 Mayo 2019

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Turko Arias

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Problema 1 Nivel 2 Mayo 2019

Mensaje sin leer por Turko Arias »

Un entero positivo es piola si los $9$ restos que se obtienen al dividirlo entre $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ y $10$ son todos diferentes y distintos de cero. ¿Cuántos enteros piolas hay entre $1$ y $100000$?
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BrunZo

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Re: Problema 1 Nivel 2 Mayo 2019

Mensaje sin leer por BrunZo »

Solución:
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No es difícil de ver que un número es piola si y sólo si es $-1$ módulo $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ y $10$. Esto es, es $-1$ módulo $\text{mcm}(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)=2520$. O sea, la cantidad de números es $\left\lfloor\frac{100000}{2520}\right\rfloor=39$.
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Ulis7s

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Re: Problema 1 Nivel 2 Mayo 2019

Mensaje sin leer por Ulis7s »

$Resolución:$
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Es claro que para que un número sea bueno debe pasar que $n$ congruente a $1$ ($mod$ $2$), $n$ congruente a $2$ ($mód$ $3$), $....$, por lo que $n$ deberá ser congruente a $a-1$ ($mód$ $a$) con $a$ entre $2$ y $10$. Luego el $mcm(2,3,4,5,6,7,8,9,10)$ $=$ $2520$ o sea cada $2520$ números uno de ellos es piola por lo que entre $1$ y $100000$ hay $100000 : 2520$ números piolas y redondeamos al entero para abajo. Por lo que entre $1$ y $100000$ hay $39$ enteros piolas.
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