ONEM 2019 - Fase 2 - Nivel 1 - P9

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Nando

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ONEM 2019 - Fase 2 - Nivel 1 - P9

Mensaje sin leer por Nando » Dom 25 Ago, 2019 2:25 am

Encuentre el menor entero positivo que tiene divisores que terminan en todos los dígitos, es decir, el menor entero positivo que tiene al menos un divisor que termina en $0$, al menos un divisor que termina en $1,\ldots,$ al menos un divisor que termina en $9$.

Aclaración: Decimos que un número termina en el dígito $d$ si el dígito de sus unidades es $d$.

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Nando

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Re: ONEM 2019 - Fase 2 - Nivel 1 - P9

Mensaje sin leer por Nando » Dom 25 Ago, 2019 11:06 pm

Spoiler: mostrar
Sea $N$ el número pedido.
Claramente $N=2\times3\times5\times k$ con $k$ impar y distinto de $5$.
Si $k=1$ no cumple lo pedido
Si $k=3$ ninguno de los divisores termina en $7$
Si $k=7$ ninguno de los divisores termina en $9$
Si $k=9$ tenemos al menos un divisor que termina en $0,1,\ldots,9$

$\therefore N=270$

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jorge.tipe
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Re: ONEM 2019 - Fase 2 - Nivel 1 - P9

Mensaje sin leer por jorge.tipe » Lun 26 Ago, 2019 5:30 am

El número que cumple la propiedad del enunciado no necesariamente es múltiplo de 3 como afirmas. Considera el número 343000 (que no es múltiplo de 3), tiene divisores 1, 2, 343, 4, 5, 686, 7, 8, 49 y 10. Por supuesto no digo que ese sea el menor, solo es un contraejemplo de tu afirmación.

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