ONEM 2019 - Fase 2 - Nivel 2 - P9

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Nando

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ONEM 2019 - Fase 2 - Nivel 2 - P9

Mensaje sin leer por Nando » Dom 25 Ago, 2019 2:58 am

Sea $n$ un entero positivo que tiene exactamente $6$ divisores positivos, los cuales son:

$$1= d_1 < d_2 < d_3 < d_4 < d_5 < d_6 = n.$$
Si $d_5 - d_4 = 10$, determine la suma de todos los posibles valores de $n$.

Martín Lupin
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Re: ONEM 2019 - Fase 2 - Nivel 2 - P9

Mensaje sin leer por Martín Lupin » Mar 27 Ago, 2019 8:05 pm

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Sea $n=p_1^{a_1} p_2^{a_2} ... p_k^{a_k}$, donde $p_1, p_2, ..., p_k$ son primos y $a_1, a_2, ..., a_k$ son enteros positivos. Como $6$ es el número de divisores de $n$ se obtiene que $(a_1+1)(a_2+1)=6$. De aquí se presentan dos casos:
  • Caso 1: $a_1=5, a_2=0$
    Entonces $n=p_1^5$, por lo que $d_5=p_1^4$ y $d_4=p_1^3$. Claramente $p_1^4-p_1^3=10$ no tiene solución, por lo que no existe $n$ que cumpla este caso.
  • Caso 2: $a_1=1, a_2=2$
    • Subcaso 2.1: $p_1>p_2^2$
      Entonces $d_5=p_1 p_2$ y $d_4=p_1$. Luego se obtiene $p_1(p_2-1)=10$. En este caso se obtienen las soluciones $(p_1; p_2)=(5; 3), (2; 6)$. Sin embargo, $(5; 3)$ no es válida ya que habíamos asumido que $p_1>p_2^2$. $(2; 6)$ tampoco es válida ya que $p_2$ es primo. Luego este subcaso no da soluciones para $n$.
    • Subcaso 2.2: $p_2^2>p_1>p_2$
      Entonces $d_5=p_1 p_2$ y $d_4=p_2^2$. Luego se obtiene $p_2(p_1-p_2)=10$. En este caso se obtienen las soluciones $(p_1; p_2)=(7; 5), (7; 2)$. Pero habíamos asumido que $p_2^2>p_1$, lo cual no se cumple en $(7; 2)$, por lo que la única solución válida de este subcaso es $n=175$.
    • Subcaso 2.3: $p_2>p_1$
      Entonces $d_5=p_2^2$ y $d_4=p_1 p_2$. Luego se obtiene $p_2(p_2-p_1)=10$. En este caso se obtiene la solución $(p_1; p_2)=(3; 5)$, la cual da el valor de $n=75$.
Luego la suma de todos los posibles valores de $n$ es $175+75=250$

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