Cono Sur 2019 - Problema 2

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Sandy

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Cono Sur 2019 - Problema 2

Mensaje sin leer por Sandy » Mar 27 Ago, 2019 4:05 pm

Decimos que un entero positivo $M$ de $2n$ dígitos es hipercuadrado si satisface las siguientes tres condiciones:
  • $M$ es un cuadrado perfecto.
  • El número formado por los primeros $n$ dígitos de $M$ es un cuadrado perfecto.
  • El número formado por los últimos $n$ dígitos de $M$ es cuadrado perfecto y tiene exactamente $n$ dígitos (no comienza con cero).
Hallar un número hipercuadrado de $2000$ dígitos.

BrunZo

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Re: Cono Sur 2019 - Problema 2

Mensaje sin leer por BrunZo » Mar 27 Ago, 2019 4:11 pm

Ejemplo:
Spoiler: mostrar
$$A=499999...9$$, con $500$ dígitos.
$$B=999999...9$$, con $500$ dígitos.
$$N=4999...9000...01$$, con $1000$ dígitos. (Hay $499$ nueves y $499$ ceros)
Luego,
$$10^{1000}A^2+B^2=N^2$$
Y no es difícil chequear que los números tienen la cantidad de dígitos requerida.

Peznerd
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Re: Cono Sur 2019 - Problema 2

Mensaje sin leer por Peznerd » Mar 27 Ago, 2019 6:31 pm

BrunZo escribió:
Mar 27 Ago, 2019 4:11 pm
Ejemplo:
Spoiler: mostrar
<span class="MathJax_Preview" style="color: inherit; display: none;"></span><div class="MathJax_Display" style="text-align: center;"><span class="MathJax" id="MathJax-Element-10-Frame" tabindex="0" style="text-align: center; position: relative;" data-mathml="<math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot; display=&quot;block&quot;><mi>A</mi><mo>=</mo><mn>499999...9</mn></math>" role="presentation"><nobr aria-hidden="true"><span class="math" id="MathJax-Span-49" style="width: 8.099em; display: inline-block;"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 6.429em; height: 0px; font-size: 126%;"><span style="position: absolute; clip: rect(1.506em, 1006.39em, 2.72em, -1000em); top: -2.46em; left: 0em;"><span class="mrow" id="MathJax-Span-50"><span class="mi" id="MathJax-Span-51" style="font-family: MathJax_Math; font-style: italic;">A</span><span class="mo" id="MathJax-Span-52" style="font-family: MathJax_Main; padding-left: 0.278em;">=</span><span class="mn" id="MathJax-Span-53" style="font-family: MathJax_Main; padding-left: 0.278em;">499999...9</span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 2.46em;"></span></span></span><span style="display: inline-block; overflow: hidden; vertical-align: -0.128em; border-left: 0px solid; width: 0px; height: 1.13em;"></span></span></nobr><span class="MJX_Assistive_MathML MJX_Assistive_MathML_Block" role="presentation"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>A</mi><mo>=</mo><mn>499999...9</mn></math></span></span></div><script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-10">A=499999...9</script>, con <span class="MathJax_Preview" style="color: inherit; display: none;"></span><span class="MathJax" id="MathJax-Element-11-Frame" tabindex="0" style="position: relative;" data-mathml="<math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot ... /mn></math>" role="presentation"><nobr aria-hidden="true"><span class="math" id="MathJax-Span-54" style="width: 1.909em; display: inline-block;"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 1.508em; height: 0px; font-size: 126%;"><span style="position: absolute; clip: rect(1.397em, 1001.47em, 2.562em, -1000em); top: -2.302em; left: 0em;"><span class="mrow" id="MathJax-Span-55"><span class="mn" id="MathJax-Span-56" style="font-family: MathJax_Main;">500</span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 2.302em;"></span></span></span><span style="display: inline-block; overflow: hidden; vertical-align: -0.128em; border-left: 0px solid; width: 0px; height: 1.067em;"></span></span></nobr><span class="MJX_Assistive_MathML" role="presentation"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn ... an><script type="math/tex" id="MathJax-Element-11">500</script> dígitos.
<span class="MathJax_Preview" style="color: inherit; display: none;"></span><div class="MathJax_Display" style="text-align: center;"><span class="MathJax" id="MathJax-Element-12-Frame" tabindex="0" style="text-align: center; position: relative;" data-mathml="<math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot; display=&quot;block&quot;><mi>B</mi><mo>=</mo><mn>999999...9</mn></math>" role="presentation"><nobr aria-hidden="true"><span class="math" id="MathJax-Span-57" style="width: 8.099em; display: inline-block;"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 6.429em; height: 0px; font-size: 126%;"><span style="position: absolute; clip: rect(1.539em, 1006.39em, 2.72em, -1000em); top: -2.46em; left: 0em;"><span class="mrow" id="MathJax-Span-58"><span class="mi" id="MathJax-Span-59" style="font-family: MathJax_Math; font-style: italic;">B</span><span class="mo" id="MathJax-Span-60" style="font-family: MathJax_Main; padding-left: 0.278em;">=</span><span class="mn" id="MathJax-Span-61" style="font-family: MathJax_Main; padding-left: 0.278em;">999999...9</span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 2.46em;"></span></span></span><span style="display: inline-block; overflow: hidden; vertical-align: -0.128em; border-left: 0px solid; width: 0px; height: 1.088em;"></span></span></nobr><span class="MJX_Assistive_MathML MJX_Assistive_MathML_Block" role="presentation"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>B</mi><mo>=</mo><mn>999999...9</mn></math></span></span></div><script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-12">B=999999...9</script>, con <span class="MathJax_Preview" style="color: inherit; display: none;"></span><span class="MathJax" id="MathJax-Element-13-Frame" tabindex="0" style="position: relative;" data-mathml="<math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot ... /mn></math>" role="presentation"><nobr aria-hidden="true"><span class="math" id="MathJax-Span-62" style="width: 1.909em; display: inline-block;"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 1.508em; height: 0px; font-size: 126%;"><span style="position: absolute; clip: rect(1.397em, 1001.47em, 2.562em, -1000em); top: -2.302em; left: 0em;"><span class="mrow" id="MathJax-Span-63"><span class="mn" id="MathJax-Span-64" style="font-family: MathJax_Main;">500</span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 2.302em;"></span></span></span><span style="display: inline-block; overflow: hidden; vertical-align: -0.128em; border-left: 0px solid; width: 0px; height: 1.067em;"></span></span></nobr><span class="MJX_Assistive_MathML" role="presentation"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn ... an><script type="math/tex" id="MathJax-Element-13">500</script> dígitos.
<span class="MathJax_Preview" style="color: inherit; display: none;"></span><div class="MathJax_Display" style="text-align: center;"><span class="MathJax" id="MathJax-Element-14-Frame" tabindex="0" style="text-align: center; position: relative;" data-mathml="<math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot; display=&quot;block&quot;><mi>N</mi><mo>=</mo><mn>4999...9000...01</mn></math>" role="presentation"><nobr aria-hidden="true"><span class="math" id="MathJax-Span-65" style="width: 11.194em; display: inline-block;"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 8.889em; height: 0px; font-size: 126%;"><span style="position: absolute; clip: rect(1.539em, 1008.82em, 2.72em, -1000em); top: -2.46em; left: 0em;"><span class="mrow" id="MathJax-Span-66"><span class="mi" id="MathJax-Span-67" style="font-family: MathJax_Math; font-style: italic;">N<span style="display: inline-block; overflow: hidden; height: 1px; width: 0.085em;"></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-68" style="font-family: MathJax_Main; padding-left: 0.278em;">=</span><span class="mn" id="MathJax-Span-69" style="font-family: MathJax_Main; padding-left: 0.278em;">4999...9000...01</span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 2.46em;"></span></span></span><span style="display: inline-block; overflow: hidden; vertical-align: -0.128em; border-left: 0px solid; width: 0px; height: 1.088em;"></span></span></nobr><span class="MJX_Assistive_MathML MJX_Assistive_MathML_Block" role="presentation"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>N</mi><mo>=</mo><mn>4999...9000...01</mn></math></span></span></div><script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-14">N=4999...9000...01</script>, con <span class="MathJax_Preview" style="color: inherit; display: none;"></span><span class="MathJax" id="MathJax-Element-15-Frame" tabindex="0" style="position: relative;" data-mathml="<math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot ... /mn></math>" role="presentation"><nobr aria-hidden="true"><span class="math" id="MathJax-Span-70" style="width: 2.544em; display: inline-block;"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 1.984em; height: 0px; font-size: 126%;"><span style="position: absolute; clip: rect(1.397em, 1001.94em, 2.562em, -1000em); top: -2.302em; left: 0em;"><span class="mrow" id="MathJax-Span-71"><span class="mn" id="MathJax-Span-72" style="font-family: MathJax_Main;">1000</span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 2.302em;"></span></span></span><span style="display: inline-block; overflow: hidden; vertical-align: -0.128em; border-left: 0px solid; width: 0px; height: 1.067em;"></span></span></nobr><span class="MJX_Assistive_MathML" role="presentation"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn ... an><script type="math/tex" id="MathJax-Element-15">1000</script> dígitos. (Hay <span class="MathJax_Preview" style="color: inherit; display: none;"></span><span class="MathJax" id="MathJax-Element-16-Frame" tabindex="0" style="position: relative;" data-mathml="<math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot ... /mn></math>" role="presentation"><nobr aria-hidden="true"><span class="math" id="MathJax-Span-73" style="width: 1.909em; display: inline-block;"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 1.508em; height: 0px; font-size: 126%;"><span style="position: absolute; clip: rect(1.386em, 1001.46em, 2.562em, -1000em); top: -2.302em; left: 0em;"><span class="mrow" id="MathJax-Span-74"><span class="mn" id="MathJax-Span-75" style="font-family: MathJax_Main;">499</span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 2.302em;"></span></span></span><span style="display: inline-block; overflow: hidden; vertical-align: -0.128em; border-left: 0px solid; width: 0px; height: 1.081em;"></span></span></nobr><span class="MJX_Assistive_MathML" role="presentation"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn ... an><script type="math/tex" id="MathJax-Element-16">499</script> nueves y <span class="MathJax_Preview" style="color: inherit; display: none;"></span><span class="MathJax" id="MathJax-Element-17-Frame" tabindex="0" style="position: relative;" data-mathml="<math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot ... /mn></math>" role="presentation"><nobr aria-hidden="true"><span class="math" id="MathJax-Span-76" style="width: 1.909em; display: inline-block;"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 1.508em; height: 0px; font-size: 126%;"><span style="position: absolute; clip: rect(1.386em, 1001.46em, 2.562em, -1000em); top: -2.302em; left: 0em;"><span class="mrow" id="MathJax-Span-77"><span class="mn" id="MathJax-Span-78" style="font-family: MathJax_Main;">499</span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 2.302em;"></span></span></span><span style="display: inline-block; overflow: hidden; vertical-align: -0.128em; border-left: 0px solid; width: 0px; height: 1.081em;"></span></span></nobr><span class="MJX_Assistive_MathML" role="presentation"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn ... an><script type="math/tex" id="MathJax-Element-17">499</script> ceros)
Luego,
<span class="MathJax_Preview" style="color: inherit; display: none;"></span><div class="MathJax_Display" style="text-align: center;"><span class="MathJax" id="MathJax-Element-18-Frame" tabindex="0" style="text-align: center; position: relative;" data-mathml="<math xmlns=&quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML&quot; display=&quot;block&quot;><msup><mn>10</mn><mrow class=&quot;MJX-TeXAtom-ORD&quot;><mn>1000</mn></mrow></msup><msup><mi>A</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>B</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>N</mi><mn>2</mn></msup></math>" role="presentation"><nobr aria-hidden="true"><span class="math" id="MathJax-Span-79" style="width: 11.115em; display: inline-block;"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 8.81em; height: 0px; font-size: 126%;"><span style="position: absolute; clip: rect(1.18em, 1008.81em, 2.622em, -1000em); top: -2.302em; left: 0em;"><span class="mrow" id="MathJax-Span-80"><span class="msubsup" id="MathJax-Span-81"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 2.489em; height: 0px;"><span style="position: absolute; clip: rect(3.064em, 1000.96em, 4.228em, -1000em); top: -3.968em; left: 0em;"><span class="mn" id="MathJax-Span-82" style="font-family: MathJax_Main;">10</span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.968em;"></span></span><span style="position: absolute; top: -4.381em; left: 1em;"><span class="texatom" id="MathJax-Span-83"><span class="mrow" id="MathJax-Span-84"><span class="mn" id="MathJax-Span-85" style="font-size: 70.7%; font-family: MathJax_Main;">1000</span></span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.968em;"></span></span></span></span><span class="msubsup" id="MathJax-Span-86"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 1.179em; height: 0px;"><span style="position: absolute; clip: rect(3.014em, 1000.73em, 4.206em, -1000em); top: -3.968em; left: 0em;"><span class="mi" id="MathJax-Span-87" style="font-family: MathJax_Math; font-style: italic;">A</span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.968em;"></span></span><span style="position: absolute; top: -4.381em; left: 0.75em;"><span class="mn" id="MathJax-Span-88" style="font-size: 70.7%; font-family: MathJax_Main;">2</span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.968em;"></span></span></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-89" style="font-family: MathJax_Main; padding-left: 0.222em;">+</span><span class="msubsup" id="MathJax-Span-90" style="padding-left: 0.222em;"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 1.188em; height: 0px;"><span style="position: absolute; clip: rect(3.047em, 1000.76em, 4.206em, -1000em); top: -3.968em; left: 0em;"><span class="mi" id="MathJax-Span-91" style="font-family: MathJax_Math; font-style: italic;">B</span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.968em;"></span></span><span style="position: absolute; top: -4.381em; left: 0.759em;"><span class="mn" id="MathJax-Span-92" style="font-size: 70.7%; font-family: MathJax_Main;">2</span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.968em;"></span></span></span></span><span class="mo" id="MathJax-Span-93" style="font-family: MathJax_Main; padding-left: 0.278em;">=</span><span class="msubsup" id="MathJax-Span-94" style="padding-left: 0.278em;"><span style="display: inline-block; position: relative; width: 1.392em; height: 0px;"><span style="position: absolute; clip: rect(3.047em, 1000.89em, 4.206em, -1000em); top: -3.968em; left: 0em;"><span class="mi" id="MathJax-Span-95" style="font-family: MathJax_Math; font-style: italic;">N<span style="display: inline-block; overflow: hidden; height: 1px; width: 0.085em;"></span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.968em;"></span></span><span style="position: absolute; top: -4.381em; left: 0.964em;"><span class="mn" id="MathJax-Span-96" style="font-size: 70.7%; font-family: MathJax_Main;">2</span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 3.968em;"></span></span></span></span></span><span style="display: inline-block; width: 0px; height: 2.302em;"></span></span></span><span style="display: inline-block; overflow: hidden; vertical-align: -0.203em; border-left: 0px solid; width: 0px; height: 1.417em;"></span></span></nobr><span class="MJX_Assistive_MathML MJX_Assistive_MathML_Block" role="presentation"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><msup><mn>10</mn><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn>1000</mn></mrow></msup><msup><mi>A</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>B</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>N</mi><mn>2</mn></msup></math></span></span></div><script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-18">10^{1000}A^2+B^2=N^2</script>
Y no es difícil chequear que los números tienen la cantidad de dígitos requerida.
Spoiler: mostrar
No entendí cómo sacaste que todos esos números son cuadrados perfectos. Lo único que sé es que un número es cuadrado perfecto si y sólo si es de la forma $k^2$ con $k$ entero y tiene una cantidad impar de divisores positivos.

BrunZo

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Re: Cono Sur 2019 - Problema 2

Mensaje sin leer por BrunZo » Dom 01 Sep, 2019 3:38 pm

BrunZo escribió:
Mar 27 Ago, 2019 4:11 pm
Ejemplo:
Spoiler: mostrar
$$A=499999...9$$, con $500$ dígitos.
$$B=999999...9$$, con $500$ dígitos.
$$N=4999...9000...01$$, con $1000$ dígitos. (Hay $499$ nueves y $499$ ceros)
Luego,
$$10^{1000}A^2+B^2=N^2$$
Y no es difícil chequear que los números tienen la cantidad de dígitos requerida.
Vamos con la Solución de verdad:
Spoiler: mostrar
Veamos que para hallar nuestro número $M$, necesitamos un cuadrado que empiece con la cadena $A^2$ de $1000$ dígitos. Notemos que el cuadrado $(10^{500}A)^2=10^{1000}A^2$ cumple esto.
De este modo, podríamos tomar al siguiente cuadrado, $(10^{500}A+1)^2$, que muy posiblemente también empiece con $A^2$ (habría que verlo), y forzar $A$ para que el número termine con $B^2$. De hecho
$$K^2=(10^{500}A+1)^2=10^{1000}A^2+2\cdot 10^{500}A+1$$
Pero, notemos que, al colocar $A=\frac{10^{500}-2}{2}$, obtendríamos
$$2\cdot 10^{500}A+1=2\cdot 10^{500}(10^{500}-2)+1=10^{1000}-2\cdot 10^{500}+1=(10^{500}-1)^2=B^2$$
Esto es, $M=K^2$ sería un número empezando con $A^2$ y terminando con $B^2$. Para terminar, solo queremos que $A^2$ y $B^2$ tengan $1000$ dígitos, lo cual es cierto puesto que
$$A^2=(5\cdot 10^{499}-1)^2=2,5\cdot 10^{999}-\cdot 10^{499}+1\approx 2,49999...99\cdot 10^{999}$$
$$B^2=(10^{500}-1)^2=10^{1000}-2\cdot 10^{500}+1\approx 0,9999...98\cdot 10^{1000}$$
De modo que terminamos el problema.

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Fran5

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Re: Cono Sur 2019 - Problema 2

Mensaje sin leer por Fran5 » Lun 02 Sep, 2019 12:33 am

Spoiler: mostrar
Vemos que $41^2$ es supercuadrado... Podríamos agregarle cosas en el medio de manera repetitiva para obtener un supercuadrado de $4n$ dígitos?

Veamos el caso para $n=2$. Buscaremos un número $M= 4xy1^2$ de $8$ dígitos.
Por un lado, buscamos un cuadrado perfecto $A$ entre $1600=40^2$ y $2401=49^2$. Por otro lado, buscamos un cuadrado perfecto $B$ entre $8001 \leq 2 \cdot 4000\cdot 1 + 1^2$ y $9801=99^2$
Como $M$ termina en $1$, tenemos que nuestro segundo cuadrado perfecto $B$ debe ser $91^2 = 8281$ o $99^2=9801$.
Pero no es difícil observar que si $B= 9801$ anda, tomando $4x = 49$ e $ y1 = 01$.

Es decir, podemos agregar $9s$ luego del $4$ y $0$s antes del $1$ para ganar.

Generalizando esto para cualquier $n$, queremos ver que $499...001$ anda, pero ahora tenemos

$2\cdot 499...000 + 1 = 2 \cdot 5 \cdot 10^{2n-1} - 2 \cdot 10^n +1 =(10^n-1)^2$.

De este modo, $M = 4999...0001^2$ es nuestro supercuadrado, y lo construimos mirando casos chicos y siguiendo nuestra intuición
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