Provincial 2019 - Nivel 1 - Problema 1

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Monazo

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Provincial 2019 - Nivel 1 - Problema 1

Mensaje sin leer por Monazo » Jue 29 Ago, 2019 9:35 pm

Determinar el menor número entero positivo $M$ tal que:
$\bullet$ las dos primeras cifras de $M$ son $2$ y $1$, en ese orden.
$\bullet$ las dos últimas cifras de $M$ son $2$ y $4$, en ese orden.
$\bullet$ $M$ es un múltiplo de $2124$ mayor que $2124$.

Martín Lupin
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Re: Provincial 2019 - Nivel 1 - Problema 1

Mensaje sin leer por Martín Lupin » Vie 30 Ago, 2019 4:21 pm

Mi solución durante el examen:
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Sea $M=2124n$, donde $n\ge 2$ es un entero. Luego por la segunda condicion del enunciado (las últimas dos cifras de $M$ son $2$ y $4$) $M=2124n\equiv 24n\equiv 24\pmod{100}$. Entonces $\frac{24n-24}{100}=\frac{6(n-1)}{25}$. Como $\text{mcd}(6, 25)=1$, se obtiene que $25\mid n-1$. Probando con $n=26, 51, 76$ se obtienen los valores de $M=55224, 108324, 161424$, respectivamente, los cuales no satisfacen la primera condición del enunciado (las primeras dos cifras de $M$ son $2$ y $1$). Con $n=101$ se obtiene $M=214524$, el cual es el menor valor posible de $M$.

manuspinetti
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Re: Provincial 2019 - Nivel 1 - Problema 1

Mensaje sin leer por manuspinetti » Sab 31 Ago, 2019 6:40 pm

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Mi solución:Esta es la que yo utilice para mi exámen. Si 2124 ya empieza con 21, y M debe empezar con 21, entonces para mantener ese 21 se puede multiplicar a 2124x10=21240, 2124x100=212400, etc. Ningundo de estos dos termina con 24, pero a 212400 se le puede sumar o restar 2124 sin alterar los primeros dos digitos. entonces 212400 + 2124 =214524. Se puede ver que termina en 24. Entonces M=2124X101=214524

Tobiasperel
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Re: Provincial 2019 - Nivel 1 - Problema 1

Mensaje sin leer por Tobiasperel » Dom 01 Sep, 2019 11:38 am

Sea 21a24 =m siendo “a” el número mínimo posible para que 21a24 sea divisible por 2124. Factorizando 2124 obtenemos:4x9x59. Por lo que 21a24 va a tener que ser divisible por 4,9 y 59.
21a24 es divisible por 4 independiente de cuanto sea “a” por el criterio de divisibilidad del 4, ya que 24 es múltiplo de 4. Para que un número sea divisible de 9 la suma de los dígitos tiene que ser múltiplo de 9. 2+1+2+4=9 , lo que quiere decir que para que 21a24 sea divisible por 9, “a” tiene que ser múltiplo de 9.
Reemplazando “a” por múltiplos de 9 y fijándose que 21a24 sea múltiplo de 59, llegamos que el menor número de “a” es 45. Por lo que 214524 es el mínimo número que puede ser m.
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