Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 1

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Monazo

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Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 1

Mensaje sin leer por Monazo » Jue 29 Ago, 2019 10:49 pm

Sea $n$ un número entero positivo tal que $n=p\cdot q$, con $p$ y $q$ primos distintos. Si $n+1=5\cdot (p+q)$, hallar todos los posibles valores de $n$.
Nota. El $1$ no es primo.

Sandy

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Re: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 1

Mensaje sin leer por Sandy » Sab 31 Ago, 2019 1:58 am

Primero debo expresar mi absoluta y ferviente discordancia con la definición del $1$ como no primo. Veamos que $(1-1)!\equiv -1(mod1)$, luego por el Teorema de Wilson sabemos que el 1 es primo.
Digamos WLOG que $p>q$

Separemos el problema en dos casos:
$q=1$
Spoiler: mostrar
$n+1=5\cdot (p+q)$

$p\cdot q+1=5\cdot (p+q)$

$p+1=5\cdot (p+1)$

$1=5$, absurdo. Luego $p+1=0$ y entonces $p=-1$, pero queda que $n=p\cdot q=-1≤0$, lo cual es un absurdo ya que $n$ es positivo.
Luego $q=1$ no arroja respuestas
$q≠1$: Solución 1
Spoiler: mostrar
$n+1=5(p+\frac{n}{p})$

Multiplicando ambos lados por $p$:

$np+p=5p^2+5n$

$n\cdot (p-5)=p\cdot (5p-1)$

$p-5 | p\cdot (5p-1) \Leftrightarrow p-5 | p\cdot (5p-1)-(p-5)\cdot (5p-1) \Leftrightarrow p-5 | 25p-5 \Leftrightarrow p-5 | 25p-5 - 25\cdot (p-5) \Leftrightarrow p-5 | 120$

Luego tenemos que $p-5 \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120\}$

$\Leftrightarrow p \in \{6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 20, 25, 29, 35, 45, 65, 125\}$

Eliminando los valores no primos, tenemos que $p \in \{7, 11, 13, 17, 29\}$

Reemplazando en la ecuación (dejo como ejercicio al lector -ponele- insertar los numeritos en la calculadora), queda $n \in \{119, 99, 104, 174\}$.

Pero $n$ tiene sólo dos divisores no triviales (ni $1$ ni $n$), ambos primos y:

$119=7\cdot 17$
$99=3\cdot 3\cdot 11$
$104=2\cdot 2\cdot 2\cdot 13$
$174=2\cdot 3\cdot 29$

Luego $n=119$
$q≠1$: Solución 2
Spoiler: mostrar
$n+1=5(p+\frac{n}{p})$

Multiplicando ambos lados por $p$:

$np+p=5p^2+5n$

$n\cdot (p-5)=p\cdot (5p-1)$

Como $p | n$, eso implica que $p-5 | 5p-1 \Leftrightarrow p-5 | 5p-1 - 5\cdot (p-5) \Leftrightarrow p-5 | 24$

Luego $p-5 \in \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\} \Leftrightarrow p \in \{6, 7, 8, 9, 11, 13, 17, 29\}$

Como $p$ es primo, $p \in \{7, 11, 13, 17, 29\}$.

A partir de acá seguimos igual que en la solución 1.
3  

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Joacoini

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Re: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 1

Mensaje sin leer por Joacoini » Sab 31 Ago, 2019 10:43 am

Si hay análisis.
Spoiler: mostrar
Primero notemos que si $x≥10\Rightarrow x^2+1>10x$.
Esto es cierto ya que la mayor raíz de la parábola $x^2+1-10x$ es $5+2\sqrt6<10$.

Ahora consideramos a $q$ como el más chico de los dos y también como mayor a $10$.

Tenemos que $q^2+1>10q$ y además $qd>5d$ ya que $q>5$.
Sumando obtenemos $q^2+1+qd=q(q+d)+1=pq+1>10q+5d=5(2q+d)=5(p+q)$

Contradicción, por lo que el primo más chico es menor a $10$, solo queda testear $q$ como $2, 3, 5$ y $7$ y solo este último arroja $p$ primo siendo este $17$ y $n=119$
1  
NO HAY ANÁLISIS.

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Gianni De Rico

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Re: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 31 Ago, 2019 11:05 am

Bien simple
Solución
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$$n+1=5(p+q)\iff n-5p-5q+1=0\iff pq-5p-5q+25=24\iff (p-5)(q-5)=24$$
Supongamos WLOG $p<q$, viendo los $4$ valores que puede tomar $p-5$, tenemos que el único que cumple es $p-5=2$, por lo que $q-5=12$, y $n=119$ es el único número que cumple las condiciones del enunciado.
[math]

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Fran5

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Re: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 1

Mensaje sin leer por Fran5 » Mié 04 Sep, 2019 5:12 pm

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