Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Monazo

OFO - Medalla de Plata-OFO 2017 OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Mención-FOFO Pascua 2019 COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020
FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi
Mensajes: 238
Registrado: Dom 14 Sep, 2014 2:30 pm
Medallas: 9
Nivel: Ñandú

Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 1

Mensaje sin leer por Monazo » Jue 29 Ago, 2019 10:49 pm

Sea $n$ un número entero positivo tal que $n=p\cdot q$, con $p$ y $q$ primos distintos. Si $n+1=5\cdot (p+q)$, hallar todos los posibles valores de $n$.

Nota: El $1$ no es primo.
El Diego es del Lobo! Y del Lobo no se va!

Avatar de Usuario
Sandy

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2019 OFO - Medalla de Plata-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Copa-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Mención-COFFEE Ariel Zylber
Mensajes: 154
Registrado: Lun 27 Nov, 2017 1:59 am
Medallas: 4
Nivel: 3

Re: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 1

Mensaje sin leer por Sandy » Sab 31 Ago, 2019 1:58 am

Primero debo expresar mi absoluta y ferviente discordancia con la definición del $1$ como no primo. Veamos que $(1-1)!\equiv -1(mod1)$, luego por el Teorema de Wilson sabemos que el 1 es primo.
Digamos WLOG que $p>q$

Separemos el problema en dos casos:
$q=1$
Spoiler: mostrar
$n+1=5\cdot (p+q)$

$p\cdot q+1=5\cdot (p+q)$

$p+1=5\cdot (p+1)$

$1=5$, absurdo. Luego $p+1=0$ y entonces $p=-1$, pero queda que $n=p\cdot q=-1≤0$, lo cual es un absurdo ya que $n$ es positivo.
Luego $q=1$ no arroja respuestas
$q≠1$: Solución 1
Spoiler: mostrar
$n+1=5(p+\frac{n}{p})$

Multiplicando ambos lados por $p$:

$np+p=5p^2+5n$

$n\cdot (p-5)=p\cdot (5p-1)$

$p-5 | p\cdot (5p-1) \Leftrightarrow p-5 | p\cdot (5p-1)-(p-5)\cdot (5p-1) \Leftrightarrow p-5 | 25p-5 \Leftrightarrow p-5 | 25p-5 - 25\cdot (p-5) \Leftrightarrow p-5 | 120$

Luego tenemos que $p-5 \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120\}$

$\Leftrightarrow p \in \{6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 20, 25, 29, 35, 45, 65, 125\}$

Eliminando los valores no primos, tenemos que $p \in \{7, 11, 13, 17, 29\}$

Reemplazando en la ecuación (dejo como ejercicio al lector -ponele- insertar los numeritos en la calculadora), queda $n \in \{119, 99, 104, 174\}$.

Pero $n$ tiene sólo dos divisores no triviales (ni $1$ ni $n$), ambos primos y:

$119=7\cdot 17$
$99=3\cdot 3\cdot 11$
$104=2\cdot 2\cdot 2\cdot 13$
$174=2\cdot 3\cdot 29$

Luego $n=119$
$q≠1$: Solución 2
Spoiler: mostrar
$n+1=5(p+\frac{n}{p})$

Multiplicando ambos lados por $p$:

$np+p=5p^2+5n$

$n\cdot (p-5)=p\cdot (5p-1)$

Como $p | n$, eso implica que $p-5 | 5p-1 \Leftrightarrow p-5 | 5p-1 - 5\cdot (p-5) \Leftrightarrow p-5 | 24$

Luego $p-5 \in \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\} \Leftrightarrow p \in \{6, 7, 8, 9, 11, 13, 17, 29\}$

Como $p$ es primo, $p \in \{7, 11, 13, 17, 29\}$.

A partir de acá seguimos igual que en la solución 1.
3  
$u=tan\left(\frac{x}{2}\right)$
$\frac{2}{1+u^2}du=dx$

Avatar de Usuario
Joacoini

OFO - Medalla de Plata-OFO 2018 FOFO 8 años - Medalla Especial-FOFO 8 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Medalla-FOFO Pascua 2019 FOFO 9 años - Medalla Especial-FOFO 9 años
OFO - Medalla de Oro-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Copa-FOFO Pascua 2020
Mensajes: 358
Registrado: Jue 12 Oct, 2017 10:17 pm
Medallas: 7
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Ciudad Gotica

Re: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 1

Mensaje sin leer por Joacoini » Sab 31 Ago, 2019 10:43 am

Si hay análisis.
Spoiler: mostrar
Primero notemos que si $x≥10\Rightarrow x^2+1>10x$.
Esto es cierto ya que la mayor raíz de la parábola $x^2+1-10x$ es $5+2\sqrt6<10$.

Ahora consideramos a $q$ como el más chico de los dos y también como mayor a $10$.

Tenemos que $q^2+1>10q$ y además $qd>5d$ ya que $q>5$.
Sumando obtenemos $q^2+1+qd=q(q+d)+1=pq+1>10q+5d=5(2q+d)=5(p+q)$

Contradicción, por lo que el primo más chico es menor a $10$, solo queda testear $q$ como $2, 3, 5$ y $7$ y solo este último arroja $p$ primo siendo este $17$ y $n=119$
1  
NO HAY ANÁLISIS.

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020
COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi
Mensajes: 1389
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 8
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 31 Ago, 2019 11:05 am

Bien simple
Solución
Spoiler: mostrar
$$\begin{align*}
n+1=5(p+q) & \iff n-5p-5q+1=0 \\
& \iff pq-5p-5q+25=24 \\
& \iff (p-5)(q-5)=24 \\
\end{align*}$$
Supongamos WLOG $p<q$, viendo los $4$ valores que puede tomar $p-5$, tenemos que el único que cumple es $p-5=2$, por lo que $q-5=12$, y $n=119$ es el único número que cumple las condiciones del enunciado.
1  
Queda Elegantemente Demostrado

Avatar de Usuario
Fran5

OFO - Medalla de Oro-OFO 2015 OFO - Jurado-OFO 2016 OFO - Jurado-OFO 2017 FOFO Pascua 2017 - Jurado-FOFO Pascua 2017 FOFO 7 años - Jurado-FOFO 7 años
OFO - Jurado-OFO 2018 FOFO 8 años - Jurado-FOFO 8 años OFO - Jurado-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Jurado-FOFO Pascua 2019 OFO - Jurado-OFO 2020
FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber
Mensajes: 965
Registrado: Mié 21 Mar, 2012 1:57 pm
Medallas: 13
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Santa Fe

Re: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 1

Mensaje sin leer por Fran5 » Mié 04 Sep, 2019 5:12 pm

"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro // Costa Rica te entro"

Avatar de Usuario
Tomás Morcos Porras

COFFEE - Mención-COFFEE Matías Saucedo OFO - Mención-OFO 2020 COFFEE - Mención-COFFEE Iván Sadofschi
Mensajes: 82
Registrado: Dom 13 Oct, 2019 5:04 pm
Medallas: 3
Nivel: 2
Ubicación: Córdoba, Córdoba

Re: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 1

Mensaje sin leer por Tomás Morcos Porras » Lun 14 Sep, 2020 1:15 pm

(no anda)
Spoiler: mostrar
$$n+1=5p+5q\implies (p-5)q=5p-1$$
Sea $p≤5$. Entonces, $p-5≤0$ y $(p-5)q$, pero también igual a $5p-1$, que es mayor o igual a $9$, absurdo. Entonces, $p$ y $q$ son mayores que $5$.
Luego, sea $p≥10$.
$$p^2≥10p\implies p^2>10p-1\implies p^2-5p>5p-1$$
$$(p-5)p>5p-1=(p-5)q\implies p>q$$
Entonces, el menor entre $p$ y $q$ es mayor a $5$ y menor a $10$, o sea que tiene que ser $7$.
$$(7-5)q=5\times 7-1\implies 2q=34\implies q=17$$
El único valor de $n$ posible es $7\times 17=119$.
Última edición por Tomás Morcos Porras el Lun 14 Sep, 2020 11:24 pm, editado 1 vez en total.
¡Feliz cumpleaños a todos los que cumplen hoy y feliz no cumpleaños a todos los que no cumplen hoy!

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020
COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi
Mensajes: 1389
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 8
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 14 Sep, 2020 1:28 pm

Tomás Morcos Porras escribió:
Lun 14 Sep, 2020 1:15 pm
Spoiler: mostrar
Entonces, el menor entre $p$ y $q$ es mayor a $5$ y menor a $10$, o sea que tiene que ser $7$.
Ojo que esto es falso
Spoiler: mostrar
Vos sabés que $p\geqslant 10$ y que $p>q>5$.
$p=13$ y $q=11$ cumplen eso.
1  
Queda Elegantemente Demostrado

Responder