Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Monazo

OFO - Medalla de Plata-OFO 2017 OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Mención-FOFO Pascua 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo
OFO - Jurado-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi
FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022
OFO - Jurado-OFO 2023 OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 381
Registrado: Dom 14 Sep, 2014 2:30 pm
Medallas: 17
Nivel: Exolímpico

Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 1

Mensaje sin leer por Monazo »

Sea $n$ un número entero positivo tal que $n=p\cdot q$, con $p$ y $q$ primos distintos. Si $n+1=5\cdot (p+q)$, hallar todos los posibles valores de $n$.

Nota: El $1$ no es primo.
Soy una Estufa en Piloto
:shock:
Avatar de Usuario
Sandy

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2019 OFO - Medalla de Plata-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Copa-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Mención-COFFEE Ariel Zylber FOFO 10 años - Copa-FOFO 10 años
OFO - Medalla de Oro-OFO 2021 FOFO 11 años - Medalla-FOFO 11 años OFO - Medalla de Plata-OFO 2022 OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años
OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 280
Registrado: Lun 27 Nov, 2017 1:59 am
Medallas: 11
Nivel: 3

Re: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 1

Mensaje sin leer por Sandy »

Primero debo expresar mi absoluta y ferviente discordancia con la definición del $1$ como no primo. Veamos que $(1-1)!\equiv -1(mod1)$, luego por el Teorema de Wilson sabemos que el 1 es primo.
Digamos WLOG que $p>q$

Separemos el problema en dos casos:
$q=1$
Spoiler: mostrar
$n+1=5\cdot (p+q)$

$p\cdot q+1=5\cdot (p+q)$

$p+1=5\cdot (p+1)$

$1=5$, absurdo. Luego $p+1=0$ y entonces $p=-1$, pero queda que $n=p\cdot q=-1≤0$, lo cual es un absurdo ya que $n$ es positivo.
Luego $q=1$ no arroja respuestas
$q≠1$: Solución 1
Spoiler: mostrar
$n+1=5(p+\frac{n}{p})$

Multiplicando ambos lados por $p$:

$np+p=5p^2+5n$

$n\cdot (p-5)=p\cdot (5p-1)$

$p-5 | p\cdot (5p-1) \Leftrightarrow p-5 | p\cdot (5p-1)-(p-5)\cdot (5p-1) \Leftrightarrow p-5 | 25p-5 \Leftrightarrow p-5 | 25p-5 - 25\cdot (p-5) \Leftrightarrow p-5 | 120$

Luego tenemos que $p-5 \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120\}$

$\Leftrightarrow p \in \{6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 20, 25, 29, 35, 45, 65, 125\}$

Eliminando los valores no primos, tenemos que $p \in \{7, 11, 13, 17, 29\}$

Reemplazando en la ecuación (dejo como ejercicio al lector -ponele- insertar los numeritos en la calculadora), queda $n \in \{119, 99, 104, 174\}$.

Pero $n$ tiene sólo dos divisores no triviales (ni $1$ ni $n$), ambos primos y:

$119=7\cdot 17$
$99=3\cdot 3\cdot 11$
$104=2\cdot 2\cdot 2\cdot 13$
$174=2\cdot 3\cdot 29$

Luego $n=119$
$q≠1$: Solución 2
Spoiler: mostrar
$n+1=5(p+\frac{n}{p})$

Multiplicando ambos lados por $p$:

$np+p=5p^2+5n$

$n\cdot (p-5)=p\cdot (5p-1)$

Como $p | n$, eso implica que $p-5 | 5p-1 \Leftrightarrow p-5 | 5p-1 - 5\cdot (p-5) \Leftrightarrow p-5 | 24$

Luego $p-5 \in \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\} \Leftrightarrow p \in \{6, 7, 8, 9, 11, 13, 17, 29\}$

Como $p$ es primo, $p \in \{7, 11, 13, 17, 29\}$.

A partir de acá seguimos igual que en la solución 1.
3  
Fallo inapelable.
Avatar de Usuario
Joacoini

OFO - Medalla de Plata-OFO 2018 FOFO 8 años - Medalla Especial-FOFO 8 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Medalla-FOFO Pascua 2019 FOFO 9 años - Medalla Especial-FOFO 9 años
OFO - Medalla de Oro-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Copa-FOFO Pascua 2020 FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años
OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años
OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 460
Registrado: Jue 12 Oct, 2017 10:17 pm
Medallas: 16
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Ciudad Gotica

Re: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 1

Mensaje sin leer por Joacoini »

Si hay análisis.
Spoiler: mostrar
Primero notemos que si $x≥10\Rightarrow x^2+1>10x$.
Esto es cierto ya que la mayor raíz de la parábola $x^2+1-10x$ es $5+2\sqrt6<10$.

Ahora consideramos a $q$ como el más chico de los dos y también como mayor a $10$, sea $d=p-q$.

Tenemos que $q^2+1>10q$ y además $qd>5d$ ya que $q>5$.
Sumando obtenemos $q^2+1+qd=q(q+d)+1=pq+1>10q+5d=5(2q+d)=5(p+q)$

Contradicción, por lo que el primo más chico es menor a $10$, solo queda testear $q$ como $2, 3, 5$ y $7$ y solo este último arroja $p$ primo siendo este $17$ y $n=119$
Última edición por Joacoini el Mar 23 Ago, 2022 6:19 pm, editado 1 vez en total.
2  
NO HAY ANÁLISIS.
Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020
FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años
OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 2212
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 18
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Bien simple
Solución
Spoiler: mostrar
$$\begin{align*}
n+1=5(p+q) & \iff n-5p-5q+1=0 \\
& \iff pq-5p-5q+25=24 \\
& \iff (p-5)(q-5)=24 \\
\end{align*}$$
Supongamos WLOG $p<q$, viendo los $4$ valores que puede tomar $p-5$, tenemos que el único que cumple es $p-5=2$, por lo que $q-5=12$, y $n=119$ es el único número que cumple las condiciones del enunciado.
1  
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
Avatar de Usuario
Fran5

OFO - Medalla de Oro-OFO 2015 OFO - Jurado-OFO 2016 OFO - Jurado-OFO 2017 FOFO Pascua 2017 - Jurado-FOFO Pascua 2017 FOFO 7 años - Jurado-FOFO 7 años
OFO - Jurado-OFO 2018 FOFO 8 años - Jurado-FOFO 8 años OFO - Jurado-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Jurado-FOFO Pascua 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años
OFO - Jurado-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Medalla de Bronce-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años
FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 1125
Registrado: Mié 21 Mar, 2012 1:57 pm
Medallas: 22
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Santa Fe

Re: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 1

Mensaje sin leer por Fran5 »

"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro //
Avatar de Usuario
Tomás Morcos Porras

COFFEE - Mención-COFFEE Matías Saucedo OFO - Mención-OFO 2020 COFFEE - Mención-COFFEE Iván Sadofschi FOFO 10 años - Mención-FOFO 10 años OFO - Medalla de Bronce-OFO 2021
OFO - Medalla de Bronce-OFO 2022
Mensajes: 202
Registrado: Dom 13 Oct, 2019 5:04 pm
Medallas: 6
Nivel: 3
Ubicación: Córdoba, Córdoba

Re: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 1

Mensaje sin leer por Tomás Morcos Porras »

(no anda)
Spoiler: mostrar
$$n+1=5p+5q\implies (p-5)q=5p-1$$
Sea $p≤5$. Entonces, $p-5≤0$ y $(p-5)q$, pero también igual a $5p-1$, que es mayor o igual a $9$, absurdo. Entonces, $p$ y $q$ son mayores que $5$.
Luego, sea $p≥10$.
$$p^2≥10p\implies p^2>10p-1\implies p^2-5p>5p-1$$
$$(p-5)p>5p-1=(p-5)q\implies p>q$$
Entonces, el menor entre $p$ y $q$ es mayor a $5$ y menor a $10$, o sea que tiene que ser $7$.
$$(7-5)q=5\times 7-1\implies 2q=34\implies q=17$$
El único valor de $n$ posible es $7\times 17=119$.
Última edición por Tomás Morcos Porras el Lun 14 Sep, 2020 11:24 pm, editado 1 vez en total.
¿Mis intereses? Las várices de Winston Churchill.
Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020
FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años
OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 2212
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 18
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Tomás Morcos Porras escribió: Lun 14 Sep, 2020 1:15 pm
Spoiler: mostrar
Entonces, el menor entre $p$ y $q$ es mayor a $5$ y menor a $10$, o sea que tiene que ser $7$.
Ojo que esto es falso
Spoiler: mostrar
Vos sabés que $p\geqslant 10$ y que $p>q>5$.
$p=13$ y $q=11$ cumplen eso.
1  
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020
FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años
OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 2212
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 18
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Dejo la versión que se tomó en Santa Fe, que es un poco más general, no sé por qué en otros lados tomaron una versión más fácil.
Provincial posta escribió:Sea $n$ un número entero positivo que tiene exactamente cuatro divisores: $1$, $a$, $b$ y $n$.
Si $n+1=5(a+b)$, hallar todos los posibles valores de $n$.
Y la demostración de que esto implica $n=pq$ con $p$ y $q$ primos distintos.
Spoiler: mostrar
Como $n$ tiene dos divisores propios, entonces no puede tener más de dos factores primos distintos (pues en ese caso tiene al menos tres divisores propios). Si tiene un solo factor primo, entonces $n=p^k$ para algún primo $p$, con lo que sus divisores propios son $p,p^2,\ldots ,p^{k-1}$, así que $k=3$, pero en ese caso la ecuación del enunciado es $p^3+1=5(p+p^2)=5p(p+1)$, de donde $p\mid 1$, absurdo.
Entonces $n$ tiene exactamente dos factores primos $p\neq q$, así que $p,q$ son divisores propios de $n$, entonces son los únicos y debe ser $n=pq$.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
Juaco

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2020 OFO - Mención-OFO 2021 OFO - Medalla de Bronce-OFO 2022
Mensajes: 230
Registrado: Jue 10 Oct, 2019 8:24 pm
Medallas: 3
Ubicación: Uruguay

Re: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 1

Mensaje sin leer por Juaco »

No entendí cual es la diferencia, tipo al decir que tiene exactamente $4$ divisores eso directamente implica que $a$ y $b$ tienen que ser primos distintos

Ta no dije nada
Última edición por Juaco el Mié 09 Feb, 2022 3:27 pm, editado 1 vez en total.
$\text{“The further removed from usefulness or practical application, the more important."}$
Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020
FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años
OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 2212
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 18
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Juaco escribió: Mié 09 Feb, 2022 12:01 pmNo entendí cual es la diferencia, tipo al decir que tiene exactamente $4$ divisores eso directamente implica que $a$ y $b$ tienen que ser primos distintos
No necesariamente, el $8$ tiene exactamente $4$ divisores, pero solamente un divisor primo.
1  
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
Responder