Cono Sur 2019 - Problema 4

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Sandy

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Cono Sur 2019 - Problema 4

Mensaje sin leer por Sandy » Sab 31 Ago, 2019 9:15 pm

Hallar todos los números primos positivos $p, q, r, s$ tales que $p^2+2019=26\cdot (q^2+r^2+s^2)$.

Sandy

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Re: Cono Sur 2019 - Problema 4

Mensaje sin leer por Sandy » Dom 01 Sep, 2019 8:55 am

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Tomando módulo $2$ es evidente que $p\equiv 1(mod2)$.
Tomando módulo $4$, sabemos que $p^2\equiv 1(mod4) \Leftrightarrow 2019+p^2\equiv 0(mod4)$, luego $26\times (q^2+r^2+s^2)$ es múltiplo de 4, luego $q^2+r^2+s^2$ es par, luego o bien uno es par, o bien los tres lo son. Descartamos rápido el caso $q=r=s=2$ porque $26\cdot 12<2019$.
Digamos WLOG que $q=2$, queda entonces:

$1915+p^2=26\cdot (r^2+s^2)$

Separamos en dos casos:

Caso A) $p$ no es múltiplo de 3
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$1915+p^2\equiv 26\cdot (r^2+s^2) (mod3)$

$2\equiv 2\cdot (r^2+s^2) (mod3)$

Como $2$ y $3$ son coprimos, podemos dividir por $2$ de ambos lados, quedando que $1\equiv r^2+s^2 (mod3)$

Como los únicos residuos cuadráticos módulo 3 son $0$ y $1$, para que $1\equiv r^2+s^2 (mod3)$, uno de los dos debe ser múltiplo de $3$. Digamos WLOG que es $r$. Luego queda:

$1681+p^2=26\cdot s^2$

$1+p^2\equiv s^2 (mod5)$

Pero los residuos cuadráticos $mod5$ son $0,1,4$, luego tenemos dos subcasos: $(p,s)\equiv (0, 1)$ y $(p,s)\equiv (4, 0)$

Luego o bien $s=5$ o bien $p=5$.

Si $p=5$, $1706=26\cdot s^2$, pero $1706$ no es múltiplo de $26$, absurdo.
Si $s=5$, $26\cdot s^2= 650 < 2019 < 2019+p^2$, absurdo.

Luego $p\neq 3$ no arroja soluciones.
Caso B) $p=3$
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Tenemos que $1924=26\cdot (r^2+s^2) \Leftrightarrow r^2+s^2=74$

Basta con probar los pocos casitos y ver que la única solución es $5^2+7^2$.
Luego tenemos que la única posible solución es $(p, q, r, s)=(3, 2, 5, 7)$ y las permutaciones de $q, r, s$.

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