1er Selectivo Cono Sur 2019 Uruguay - Problema 3

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Sandy

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1er Selectivo Cono Sur 2019 Uruguay - Problema 3

Mensaje sin leer por Sandy » Sab 31 Ago, 2019 9:50 pm

Sean $a, b, c$ enteros positivos tales que $ab$ es divisible por $2c$, $bc$ es divisible por $3a$ y $ca$ es divisible por $5b$.
Encuentra el menor valor posible de $abc$.

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Fran5

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Re: 1er Selectivo Cono Sur 2019 Uruguay - Problema 3

Mensaje sin leer por Fran5 » Sab 31 Ago, 2019 11:56 pm

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Multiplicando por $c,a,b$ cada condición, tenemos que $abc$ es divisible por $2c^2$, $3a^2$ y $5b^2$.
Como $2,3,5$ son primos, tienen que dividir a alguno de $a,b,c$. Luego $abc$ es divisible por $2^2, 3^2$ y $5^2$.
Nuevamente, como son primos, $abc$ es divisible por $(2\cdot 3 \cdot 5)^2 = 30^2$.

Tomando $c = 3 \cdot 5$, $a = 2 \cdot 5$ y $b = 2 \cdot 3$ tenemos que $ab = 4c$, $bc = 9a$ y $ca = 25b$, y además el producto $abc$ es igual a $900$.

Luego el menor valor posible de $abc$ es $900$ y la solución está completa.
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"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro // Costa Rica te entro"

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