Nacional Brasil 2018 Fase Única - N3 P5

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BrunZo

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Nacional Brasil 2018 Fase Única - N3 P5

Mensaje sin leer por BrunZo » Lun 02 Sep, 2019 11:29 pm

Considere la sucesión donde $a_1=1$ y $a_n$ se obtiene yuxtaponiendo al final de la representación decimal de $a_{n-1}$ la representación decimal de $n$. Es decir:
$$a_1 = 1,\quad a_2 = 12,\quad a_3 = 123 ,\quad ...,\quad a_9 = 123456789,\quad a_{10} = 12345678910$$
y así sucesivamente. Probar que hay infinitos términos de esta sucesión que son múltiplos de $7$.

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Joacoini

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Re: Nacional Brasil 2018 Fase Única - N3 P5

Mensaje sin leer por Joacoini » Mar 03 Sep, 2019 9:21 pm

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Si $d(n)$ es la cantidad de dígitos de $n$ entonces

$a_{n+1}=a_n\cdot 10^{d(n+1)}+n+1$


Tomamos $m=10^{6k+2}$, notemos que hay infinitas elecciones de $m$.

La cantidad de dígitos de los números mayores o iguales a $m$ y menores o iguales a $m+12$ es $6k+3$.

Como $10^2\equiv 2$ mod 7, por el pequeño teorema de Fermat.
$10^{6k+2}\equiv 2$ mod 7

Como $10^3\equiv -1$ mod 7, por el pequeño teorema de Fermat.
$10^{6k+3}\equiv -1$ mod 7


La siguiente lista son de los restos de los términos de la sucesión vistos mod 7.

$a_m$
$a_{m+1}\equiv a_m\cdot 10^{6k+3}+10^{6k+2}+1\equiv -a_m+3$
$a_{m+2}\equiv -a_{m+1}+2+2\equiv a_m+1$
$a_{m+3}\equiv -a_{m+2}+2+3\equiv -a_m+4$
$a_{m+4}\equiv -a_{m+3}+2+4\equiv a_m+2$
$a_{m+5}\equiv -a_{m+4}+2+5\equiv -a_m+5$
$a_{m+6}\equiv -a_{m+5}+2+6\equiv a_m+3$
$a_{m+7}\equiv -a_{m+6}+2+7\equiv -a_m+6$
$a_{m+8}\equiv -a_{m+7}+2+8\equiv a_m+4$
$a_{m+9}\equiv -a_{m+8}+2+9\equiv -a_m$
$a_{m+10}\equiv -a_{m+9}+2+10\equiv a_m+5$
$a_{m+11}\equiv -a_{m+10}+2+11\equiv -a_m+1$
$a_{m+12}\equiv -a_{m+11}+2+12\equiv a_m+6$


Luego, alguno de los números $a_m, a_{m+2}, a_{m+4}, a_{m+6}, a_{m+8}, a_{m+10}$ y $a_{m+12}$ es múltiplo de $7$.



NO HAY ANÁLISIS.

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