APMO 2019 Problema 1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
tuvie

Colaborador OFO - Medalla de Oro FOFO 6 años - Medalla Especial OFO - Jurado FOFO 7 años - Jurado
FOFO 8 años - Jurado FOFO Pascua 2019 - Jurado
Mensajes: 594
Registrado: Dom 09 Sep, 2012 11:58 am
Medallas: 10
Nivel: Exolímpico

APMO 2019 Problema 1

Mensaje sin leer por tuvie » Sab 07 Sep, 2019 10:58 am

Sea $\mathbb{Z}^{+}$ el conjunto de los números enteros positivos. Determinar todas las funciones $f:\mathbb{Z}^{+}\rightarrow\mathbb{Z}^{+}$ tales que $a^2+f(a)f(b)$ es divisible por $f(a)+b$ para todos los enteros positivos $a$ y $b$.

malen.arias

OFO - Mención OFO - Medalla de Bronce
Mensajes: 14
Registrado: Vie 02 Oct, 2015 10:37 pm
Medallas: 3
Nivel: 3

Re: APMO 2019 Problema 1

Mensaje sin leer por malen.arias » Mar 19 Nov, 2019 10:13 pm

Spoiler: mostrar
Sabemos que $f(a)+b \mid f(a)f(b)+a^2$ para todo $a$ y $b$ enteros positivos.
Evaluamos $b=f(a)$:
$$f(a)+f(a)\mid f(a)f(f(a))+a^2$$
$$2f(a)\mid f(a)f(f(a))+a^2$$
$$f(a)\mid f(a)f(f(a))+a^2$$
$$f(a)\mid a^2 (1)$$
Entonces podemos escribir a $a^2$ como $f(a).x$ con $x$ entero positivo.
Evaluamos $a=1$ en $(1)$:
$$f(1)\mid 1^2$$
$$f(1)\mid 1$$
$$f(1)=1$$
Ahora evaluamos en nuestra ecuación inicial $a=1$:
$$f(1)+b\mid f(1)f(b)+1^2$$
Reemplazamos $f(1)$ por $1$ y $f(b)$ por $b.x$:
$$b+1\mid \frac{b^2}{x}+1$$
Como $b+1\mid \frac{b^2}{x}+1$ y $b+1 \mid b+1$ se cumple que
$$b+1\mid \frac{b^2}{x}+1-b-1$$
$$b+1\mid \frac{b^2}{x}-b$$
$$b+1\mid b(\frac{b}{x}-1)$$
Como $b$ y $b+1$ son consecutivos, podemos afirmar que son coprimos, entonces $b+1\mid \frac{b}{x}-1$
  • Si $x<b$$\Rightarrow 1< \frac {b}{x}$ y como $x\geq 1 \Rightarrow b\geq \frac{b}{x}$, entonces $0< \frac{b}{x}-1 \leq b-1$, pero no hay ningún multiplo de $b+1$ que cumpla esto.
  • Si $x>b$, $\frac{b}{x}$ no es entero, entonces $\frac{b}{x}-1$ tampoco lo es y no se cumple $b+1\mid \frac{b}{x}-1$.
  • Si $x=b$ $\Rightarrow \frac{b}{x}=\frac{b}{b}=1$, reemplazando nos queda que $b+1\mid 1-1 \Rightarrow b+1\mid 0$ y esto se cumple para todo $b$ entero positivo.
Entonces si alguna función cumple será $f(b)=\frac{b^2}{x}=\frac{b^2}{b}=b$.
Comprobamos que esta función sirva en la ecuación original:
$$f(a)+b\mid f(a)f(b)+a^2$$
$$a+b\mid ab+a^2$$
$$a+b\mid a(a+b)$$
Lo que es real para todo $a$ y $b$ enteros positivos. La unica función que cumple es $f(b)=b$ para todo $b$ entero positivo.
2  

Avatar de Usuario
ésta

Colaborador OFO - Jurado
Mensajes: 295
Registrado: Sab 16 Oct, 2010 4:55 pm
Medallas: 4
Nivel: Ñandú

Re: APMO 2019 Problema 1

Mensaje sin leer por ésta » Vie 22 Nov, 2019 8:44 pm

La solución de arriba tiene un problema:
Spoiler: mostrar
No es correcto como descarta el caso $\frac{b}{x}$ no entero, para poder decir cuando $a \mid bc$ con $a$ y $b$ coprimos entonces $a \mid c$ el número $c$ tiene que ser entero. Por ejemplo $5 \mid 10 = 6 \times \frac{5}{3}$ y no puedo decir que entonces $5 \mid \frac{5}{3}$ y menos llegar a un absurdo y decir que entonces $5$ no divide a $10$.

La solución se puede arreglar si en lugar de sacar factor común $b$, sacamos factor común $d = mcd(f(b), b)$.
Se puede ver que $d$ es coprimo con $b+1$ y tambien que $\frac{f(b)}{d} \leq b$ por lo que $\left| \frac{f(b)-b}{d} \right| \leq b$ y con eso sale que $f(b) = b$.
Imagen

Responder