Sea $m$ un entero positivo. La sucesión infinita $\{a_n\}_{n\ge 1}$ está definida de la siguiente manera: $a_1$ es un entero positivo, y para todo entero $n\ge 1$ tenemos
$$a_{n+1}= \begin{cases}
a_n^2+2^m &\text{si } a_n < 2^m \\
\frac{a_n}{2} &\text{si } a_n \ge 2^m.
\end{cases}$$
Para cada $m$, determinar todos los posibles valores de $a_1$ tales que todos los términos de la sucesión son enteros.
En algún momento de la sucesión va a haber un $a_k<2^m$ por lo que si $m=1\Rightarrow a_k=1\Rightarrow a_{k+1}=3\Rightarrow a_{k+2}=\frac{3}{2}$.
$m\geq 2$
Tomamos $m$ y $a_1$ tal que la sucesión se mantenga en enteros, en algún momento la sucesión va a ser mayor a $2^m$ y luego va a haber un $2^{m-1}\leq a_k<2^m$ ya que $2a_k=a_{k-1}\geq 2^m$.
$2^{2m-2}+2^m \leq a_{k+1}=a_k^2+2^m<2^{2m}+2^m$
Si dividimos por $2^{m-2}$ la cota inferior sigue siendo más grande que $2^m$, seria $2^m+4$, por lo que podemos dividir por $2$ una vez más y obtenemos.
$a_{k+m}=\frac{a_k^2+2^m}{2^{m-1}}$
Como $a_{k+m}$ tiene que ser entero, más específicamente par ya que si no si seguimos llegamos a un no entero, tenemos que $v_2(a_k^2+2^m)\geq m$.
Si $v_2(x)\neq v_2(y)\Rightarrow v_2(x+y)=min(v_2(x); v_2(y))$.
Si $v_2(a_k^2)<m\Rightarrow v_2(a_k^2+2^m)=v_2(a_k^2)<m$, por lo que $v_2(a_k^2)\geq m$.
Si $v_2(a_k^2)>m\Rightarrow v_2(a_k^2+2^m)=v_2(2^m)=m\Rightarrow v_2(a_{k+m})=v_2(\frac{a_k^2+2^m}{2^{m-1}})=1$.
Pero podemos ver a $a_{k+m}$ como un $a_{k'}$ ya que cumple las propiedades por las que elegimos a $a_k$ (si no tenemos que dividir por $2$ una vez más y nos queda un impar) por lo que $a_{k'}$ también debe cumplir que $v_2(a_{k'}^2)\geq m$ pero $v_2(a_{k'}^2)=2$ por lo que o $m=2$ (vamos a ver esto al final) o $v_2(a_k^2)\leq m$.
Solo nos queda la opción de $v_2(a_k^2)=m=2v_2(a_k)$ por lo que $m=2t$.
$v_2(a_k^2+2^m)=m+v_2(\frac{a_k^2}{2^m}+1)$
Como $\frac{a_k^2}{2^m}$ es un cuadrado impar tenemos que su resto mod $4$ es $1$ por lo que el resto mod $4$ de $\frac{a_k^2}{2^m}+1$ es $2$ por lo tanto
$v_2(a_k^2+2^m)=m+v_2(\frac{a_k^2}{2^m}+1)=m+1\Rightarrow v_2(a_{k+m})=v_2(\frac{a_k^2+2^m}{2^{m-1}})=2$
De nuevo miramos a $a_{k+m}$ como $a_{k'}$ (si no dividimos por $2$ una vez más y vemos a $a_{k+m+1}$ como $a_{k'}$) y se tiene que cumplir que $v_2(a_{k'}^2)=m$ por lo que $m=4$ si $k'=m+k$ o $m=2$ si $k'=m+k+1$.
Para $m=4$ como sabemos que la sucesión va a pasar por algún número menor a $16$ podemos arrancar por estos a hacer operaciones, para cualquier número que arranquemos llegamos a un no entero.
Para $m=2$ como sabemos que la sucesión va a pasar por algún número menor a $4$ y este tiene que ser par sucede la sucesión pasa por $2$ y se forma el ciclo $2, 8, 4, 2, 8, 4, 2...$ por lo que si arrancas en cualquier potencia de $2$ logras que la sucesión se mantenga en enteros (si $a_1$ no es potencia de $2$ vas a dividir por $2$ hasta llegar a un impar y de ahí a un no entero).
La única solución es $m=2$ y $a_1=2^n$ con $n\geq 1$.
Sea $b_n = \frac{a_n}{2^{v_2(a_n)}}$ o dicho de otra forma, la parte impar de $a_n$.
Si pasamos de $a_n$ a $a_{n+1}$ usando la segunda operación vemos que $b_{n} = b_{n+1}$.
Ahora si usamos la primera:
$a_{n+1} =2^{2v_2(a_n)}.b_n^2 + 2^m$
Donde podremos sacar factor común $2^{2v_2(a_n)}$ o $2^m$ dependiendo de qué exponente sea menor, teniendo así uno de los $2$ factores: $b_n^2 + 2^{m-2v_2(a_n)}$, $2^{2v_2(a_n)-m}.b_n^2 + 1$
Esto hace que $|m-2v_2(a_n)| \equiv 1 \; (2)$ por lo que esta cantidad es $\geq 1$ y así cualquiera de los $2$ factores que escribimos es impar (lo que quiere decir que son $b_{n+1}$).
Luego ambos son al menos $2b_n^2 + 1 > b_n$ o $b_n^2 + 2 > b_n$. Donde concluimos que si aplicamos la operación $1$:
$b_{n+1} > b_n$
Ahora la operación $1$ se aplica cada vez que $a_n < 2^m$, dejando a $a_{n+1} > 2^m$ y como la operación $2$ solo hace decrecer al número hasta que vuelve a ser $< 2^m$, la operación $1$ se aplica infinitas veces en la sucesión. Esto hace que $b_n$ pueda ser arbitrariamente grande y en particular si $b_n > 2^m$, aplicamos la operación $2$ hasta tener un $a_j = b_j = b_n > 2^m$ donde al aplicarla otra vez conseguimos $a_{j+1} = \frac{b_n}{2}$ que no es entero porque $b_n$ es impar. Finalizando con que no hay elección posible de $a_1$ para $m$ impar.
Notemos que el argumento de que cualquiera de los $2$ factores anteriores es $b_{n+1}$ sigue siendo valido siempre que $|m-2v_2(a_n)| ≠ 0$ es decir que $v_2(a_n) ≠ \frac{m}{2}$. Luego la lista de $b$ crece infinitamente a no ser que ocurra $v_2(a_n) = \frac{m}{2}$ en ese caso el factor que nos queda es $b_n^2 + 1 \equiv 2 \; (4)$ por lo que $b_{n+1} = \frac{b_n^2 + 1}{2}$.
Supongamos que de todas formas ocurre que:
$b_{n+1} = \frac{b_n^2 + 1}{2} > b_n$
$(b_n - 1)^2 > 0$
Que es cierto siempre que $b_n ≠ 1$. Luego únicamente de ser el caso que $b_n = 1$ y $v_2(a_n) = \frac{m}{2}$ tenemos que $b_n = b_{n+1} = 1$ donde $b$ no crece luego de la operación $2$.
Es decir, lo único que puede impedir hacer crecer infinitamente a la lista de $b$ es que $b_n = 1$ para todo $n$.
De esta forma $b_1 = 1$ y $a_1 = 2^x$.
Ahora sea $a_i = 2^j < 2^m$ el primer número en el que aplicamos la operación $1$.
$a_{i+1} = 2^{2j} + 2^m$
Donde como vimos antes la única forma de que $b_{i+1} = 1$ es que $j = \frac{m}{2}$ teniendo:
$a_{j+1} = 2^{m+1}$
$a_{j+2} = 2^m$
$a_{j+3} = 2^{m-1}$
$a_{j+4} = 2^{2m-2} + 2^m$
Pero si $b_{j+4} = 1$ entonces $2m-2 = m$, es decir, $m=2$. De ahí tenemos que si $m$ es par, $m=2$ donde $a_1 = 2^x$ para todo $x$ natural es la única solución.
