Mayo 2018 Problema 2 Nivel 1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
tuvie

Colaborador-Varias OFO - Medalla de Oro-OFO 2015 OFO - Medalla de Oro-OFO 2016 FOFO 6 años - Medalla Especial-FOFO 6 años OFO - Jurado-OFO 2017
FOFO 7 años - Jurado-FOFO 7 años OFO - Jurado-OFO 2018 FOFO 8 años - Jurado-FOFO 8 años OFO - Jurado-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Jurado-FOFO Pascua 2019
OFO - Jurado-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020
Mensajes: 608
Registrado: Dom 09 Sep, 2012 11:58 am
Medallas: 12
Nivel: Exolímpico

Mayo 2018 Problema 2 Nivel 1

Mensaje sin leer por tuvie » Dom 08 Sep, 2019 12:23 pm

Se efectúan mil divisiones enteras: se divide $2018$ entre cada uno de los números enteros del $1$ al $1000$. Se obtienen así mil cocientes enteros con sus respectivos restos. ¿Cuál de estos mil restos es el mayor?

Avatar de Usuario
Dauphineg

OFO - Medalla de Plata-OFO 2015 OFO - Medalla de Plata-OFO 2016 OFO - Medalla de Plata-OFO 2017 OFO - Medalla de Bronce-OFO 2018 OFO - Medalla de Plata-OFO 2019
OFO - Medalla de Plata-OFO 2020 COFFEE - Mención-COFFEE Ariel Zylber
Mensajes: 176
Registrado: Lun 20 Ene, 2014 1:26 am
Medallas: 7
Nivel: Exolímpico
Ubicación: La Plata, Prov. de Bs. As.

Re: Mayo 2018 Problema 2 Nivel 1

Mensaje sin leer por Dauphineg » Mié 29 Jul, 2020 2:20 am

Spoiler: mostrar
Consideremos que $n$ es un natural menor o igual que $1000$ y que $c$ y $r$ son respectivamente el cociente y resto de dividir a $2018$ por $n$.
Tendremos que $2018=n.c+r$ y ademas $r+1\leq n$ o también $r\leq n-1$, luego $2018=n.c+r\leq n.c+n-1=n.(c+1)-1\leq 1000.(c+1)-1$
$\Rightarrow 2019\leq 1000.(c+1)\Rightarrow 1,019\leq c \Rightarrow 2\leq c$ entonces $2018=n.c+r \geq (r+1).2+r=3r+2$
$\Rightarrow 2016\geq 3r \Rightarrow 672\geq r$, por último vemos que para $n=673$ se obtiene este resto de $672$ así que es el máximo buscado.

Responder