Página 1 de 1

Mayo 2018 Problema 2 Nivel 1

Publicado: Dom 08 Sep, 2019 12:23 pm
por tuvie
Se efectúan mil divisiones enteras: se divide $2018$ entre cada uno de los números enteros del $1$ al $1000$. Se obtienen así mil cocientes enteros con sus respectivos restos. ¿Cuál de estos mil restos es el mayor?

Re: Mayo 2018 Problema 2 Nivel 1

Publicado: Mié 29 Jul, 2020 2:20 am
por Dauphineg
Spoiler: mostrar
Consideremos que $n$ es un natural menor o igual que $1000$ y que $c$ y $r$ son respectivamente el cociente y resto de dividir a $2018$ por $n$.
Tendremos que $2018=n.c+r$ y ademas $r+1\leq n$ o también $r\leq n-1$, luego $2018=n.c+r\leq n.c+n-1=n.(c+1)-1\leq 1000.(c+1)-1$
$\Rightarrow 2019\leq 1000.(c+1)\Rightarrow 1,019\leq c \Rightarrow 2\leq c$ entonces $2018=n.c+r \geq (r+1).2+r=3r+2$
$\Rightarrow 2016\geq 3r \Rightarrow 672\geq r$, por último vemos que para $n=673$ se obtiene este resto de $672$ así que es el máximo buscado.