Nacional 2006 - N1 P3

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BrunZo

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Nacional 2006 - N1 P3

Mensaje sin leer por BrunZo » Dom 08 Sep, 2019 6:39 pm

Hallar $9$ números enteros positivos que sumen $2006$ y tales que el mínimo común múltiplo de esos $9$ números sea lo menor posible (entre los $9$ números puede haber repetidos).
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BrunZo

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Re: Nacional 2006 - N1 P3

Mensaje sin leer por BrunZo » Dom 19 Abr, 2020 6:02 pm

Spoiler: mostrar
Se puede hacer que el máximo común múltiplo sea $236$ con un $118$ y ocho $236$.

Ahora, supongamos que el MCM es $x$.
Es claro que todos los sumandos son divisores de $x$. Si todos ellos fuesen exactamente $x$, entonces $9x=2006$ lo cual es absurdo ya que $2006$ no es múltiplo de $9$. Entonces, sabemos que alguno de ellos es un divisor propio (distinto de $x$), por lo que es, como mucho $\frac{x}{2}$. Entonces, la suma de todos ellos es, como mucho, $\frac{x}{2}+8\cdot x$. Esto quiere decir que $\frac{x}{2}+8\cdot x\geq 2006$ luego $x\geq\frac{2}{17}2006=236$, lo que prueba que nuestro ejemplo es óptimo.
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