Nacional 2004 N3 P1

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Joacoini

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Nacional 2004 N3 P1

Mensaje sin leer por Joacoini » Lun 30 Sep, 2019 11:10 pm

Para cada entero positivo $n$ consideramos la sucesión de $2004$ números enteros
$[n+\sqrt{n}], [n+1+\sqrt{n+1}], [n+2+\sqrt{n+2}],..., [n+2003+\sqrt{n+2003}]$
Determinar el menor entero $n$ tal que los $2004$ números de la sucesión son $2004$ enteros consecutivos.
ACLARACIÓN: Los corchetes indican la parte entera.
NO HAY ANÁLISIS.

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Turko Arias

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Re: Nacional 2004 N3 P1

Mensaje sin leer por Turko Arias » Mar 01 Oct, 2019 1:35 am

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Sea $\{a\}=a-[a]$ la mantiza de $a$. Es claro que $\{ n+i+\sqrt{n+i}\}=\{\sqrt{n+i} \}$, por lo que pedir que $[n+\sqrt{n}], [n+1+\sqrt{n+1}], ..., [n+2003+\sqrt{n+2003}]$ sean $2004$ enteros consecutivos, no es otra cosa que pedir que los siguientes $2004$ números lo sean: $(n+\sqrt{n}-\{ n+\sqrt{n}\}, n+1+\sqrt{n+1}-\{ n+1+\sqrt{n+1}\}, ...,n+2003+\sqrt{n+2003}- \{ n+2003+\sqrt{n+2003}\})= \\
(n+\sqrt{n}-\{\sqrt{n} \}, n+1+\sqrt{n+1}-\{\sqrt{n+1} \}, ..., n+2003+\sqrt{n+2003}-\{\sqrt{n+2003} \})$
Pero entonces queremos que la distancia entre dos elementos seguidos sea siempre $1$, es decir $n+i+1+\sqrt{n+i+1}-\{\sqrt{n+i+1} \}-(n+i+\sqrt{n+i}-\{\sqrt{n+i} \})=1$, simplificando lo que hay que simplificar nos queda:
$\sqrt{n+i+1}-\{\sqrt{n+i+1} \}=\sqrt{n+i}-\{\sqrt{n+i} \}$, por lo que por definición de mantiza nos queda $[\sqrt{n+i+1}]=[\sqrt{n+i}]$.
Luego, el problema se convirtió en buscar $2004$ chabones consecutivos tales que, o bien ninguno sea cuadrado perfecto, o bien solo el primero de ellos lo sea. Usando que la distancia entre el $i-esimo$ cuadrado perfecto y el $(i+1)-esimo$ cuadrado perfecto es $2i+1$, notamos que eso sucede recién a partir del $1002-esimo$ cuadrado perfecto, que es $1002^2=1004004$, luego el menor $n$ posible es $n=1004004$ $\blacksquare$

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