Nacional 2004 N3 P1

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Joacoini

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Nacional 2004 N3 P1

Mensaje sin leer por Joacoini » Lun 30 Sep, 2019 11:10 pm

Para cada entero positivo $n$ consideramos la sucesión de $2004$ números enteros$$\left [n+\sqrt{n}\right ],\left [n+1+\sqrt{n+1}\right ],\left [n+2+\sqrt{n+2}\right ],\ldots ,\left [n+2003+\sqrt{n+2003}\right ]$$Determinar el menor entero $n$ tal que los $2004$ números de la sucesión son $2004$ enteros consecutivos.

Aclaración: Los corchetes indican la parte entera.
NO HAY ANÁLISIS.

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Turko Arias

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Re: Nacional 2004 N3 P1

Mensaje sin leer por Turko Arias » Mar 01 Oct, 2019 1:35 am

Spoiler: mostrar
Sea $\{a\}=a-[a]$ la mantiza de $a$. Es claro que $\{ n+i+\sqrt{n+i}\}=\{\sqrt{n+i} \}$, por lo que pedir que $[n+\sqrt{n}], [n+1+\sqrt{n+1}], ..., [n+2003+\sqrt{n+2003}]$ sean $2004$ enteros consecutivos, no es otra cosa que pedir que los siguientes $2004$ números lo sean: $(n+\sqrt{n}-\{ n+\sqrt{n}\}, n+1+\sqrt{n+1}-\{ n+1+\sqrt{n+1}\}, ...,n+2003+\sqrt{n+2003}- \{ n+2003+\sqrt{n+2003}\})= \\
(n+\sqrt{n}-\{\sqrt{n} \}, n+1+\sqrt{n+1}-\{\sqrt{n+1} \}, ..., n+2003+\sqrt{n+2003}-\{\sqrt{n+2003} \})$
Pero entonces queremos que la distancia entre dos elementos seguidos sea siempre $1$, es decir $n+i+1+\sqrt{n+i+1}-\{\sqrt{n+i+1} \}-(n+i+\sqrt{n+i}-\{\sqrt{n+i} \})=1$, simplificando lo que hay que simplificar nos queda:
$\sqrt{n+i+1}-\{\sqrt{n+i+1} \}=\sqrt{n+i}-\{\sqrt{n+i} \}$, por lo que por definición de mantiza nos queda $[\sqrt{n+i+1}]=[\sqrt{n+i}]$.
Luego, el problema se convirtió en buscar $2004$ chabones consecutivos tales que, o bien ninguno sea cuadrado perfecto, o bien solo el primero de ellos lo sea. Usando que la distancia entre el $i-esimo$ cuadrado perfecto y el $(i+1)-esimo$ cuadrado perfecto es $2i+1$, notamos que eso sucede recién a partir del $1002-esimo$ cuadrado perfecto, que es $1002^2=1004004$, luego el menor $n$ posible es $n=1004004$ $\blacksquare$
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Fedex

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Re: Nacional 2004 N3 P1

Mensaje sin leer por Fedex » Mar 04 Feb, 2020 1:16 am

Ma gustao
Spoiler: mostrar
Notemos que si, siendo $k$ un numero entero:
$\left [ n+k \right ]$ = $\left [ n \right ] +k$
Por lo que la sucesión del ejercicio:
$\left [ n+\sqrt{n} \right ],\left [ n+1+\sqrt{n+1} \right ],...\left [ n+2003+\sqrt{n+2003} \right ]$
Se convierte en:
$\left [ n+\sqrt{n} \right ],\left [ n+\sqrt{n+1} \right ]+1,...\left [ n+\sqrt{n+2003} \right ]+2003$
Ahora notemos lo que pasa si igualamos todas las partes enteras de la sucesión:
$\left [ n+\sqrt{n} \right ]=\left [ n+\sqrt{n+1} \right ]=...=\left [ n+\sqrt{n+2003} \right ]=x$
La sucesión se vuelve:
$x,x+1,x+2,...,x+2003$ Que son 2004 números enteros consecutivos!
Por lo que estrictamente tenemos que conseguir que las partes enteras que aparecen en ambos extremos de la sucesión sean iguales, de esta forma, todas las que aparezcan en el medio también lo serán entre si.
Por lo que:
$\left [ n+\sqrt{n} \right ]=\left [ n+\sqrt{n+2003} \right ]$
Es trivial que: $n+\sqrt{n} < n+\sqrt{n+2003}$ y por lo tanto $\sqrt{n} < \sqrt{n+2003}$, por lo que:
$\sqrt{n} + k = \sqrt{n+2003}$ con un $k$ que verifique que $0< k< 1$
Ya que buscamos que (siendo $c$ algún entero positivo) $c^{2}\leq n < n+2003< \left ( c+1 \right )^{2}$ (Ec. 1) por lo que $c\leq \sqrt{n} < \sqrt{n+2003}< c+1$, es decir, buscamos que estas 2 variables se encuentren entre 2 valores enteros.
$\sqrt{n} + k = \sqrt{n+2003}$
$(\sqrt{n}+k)^{2} = (\sqrt{n+2003})^{2}$
$ n+2.\sqrt{n}.k\; +k^{2}= n+2003$
$2.\sqrt{n}.k\; +k^{2}= 2003$
$k.(2.\sqrt{n} +k)= 2003$
Por la inecuacion anterior:
$k< 1$
$k.(2.\sqrt{n} +k)< 2.\sqrt{n}+k$
$2003 < 2.\sqrt{n}+k$
$2002,... < 2.\sqrt{n}$
$1001,... < \sqrt{n}$
$(1001,...)^{2} < n$
Ahora recordemos que por la inecuacion $(Ec. 1)$ $n$ toma su valor mínimo cuando es igual a un cuadrado perfecto.
El cuadrado perfecto mayor a $(1001,...)^{2}$ que se encuentra mas próximo a este valor es claramente $(1002)^{2}$, así que:
El mínimo valor que puede tomar nuestra variable es $n$ = $(1002)^{2}$ = $1004004$
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$\frac{9}{1^2} \binom{20}{18}$

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