Nacional 2019 - Nivel 2 - Problema 1

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Monazo

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Nacional 2019 - Nivel 2 - Problema 1

Mensaje sin leer por Monazo » Jue 14 Nov, 2019 10:12 am

Decimos que tres enteros positivos $a$, $b$, $c$ forman una $familia$ si se cumplen las siguientes dos condiciones.
  • $a+b+c=900$
  • existe un entero $n$, $n\geq 2$, tal que $\frac{a}{n-1}=\frac{b}{n}=\frac{c}{n+1}$.
Hallar la cantidad de familias que hay.

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lichafilloy

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Re: Nacional 2019 - Nivel 2 - Problema 1

Mensaje sin leer por lichafilloy » Jue 14 Nov, 2019 2:26 pm

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Tomando la segunda hipótesis, vale que: $a \times n \times (n+1) = b \times (n - 1) \times (n + 1) = c \times n \times (n-1) = x.$
y usando la primera vale que: $(a + b + c) \times n \times (n-1) \times (n+1) = 900 \times n \times (n-1) \times (n+1) = x \times (n-1) + x \times n + x \times (n + 1) = x \times 3n$.
Luego, $x = 300 \times (n-1) \times (n+1) = b \times (n-1) \times \ (n+1)$.
Concluimos que $b = 300$, de donde $a = 300 \times \frac{n-1}{n}$ y $c = 300 \times \frac{n+1}{n}$
Como $(n-1), n, (n+1)$ son coprimos dos a dos para $n \geq 2$, $n$ debe ser un divisor de $300$ para que $a$ y $c$ sean enteros positivos.
$300 = 2^2 \times 3 \times 5^2$. Viendo que cada divisor de $300$ es de la forma $2^x \times 3^y \times 5^z$ con $x$ entre $0$ y $2$, $y$ entre $0$ y $1$ y $z$ entre $0$ y $2$, vemos que $n$ tiene $3 \times 2 \times 3 = 18$ divisores.
Sacando $n = 1$, nos quedan $17$ posibles $n$, que permiten el armado de las $17$ distintas ternas válidas $(a,b,c)$ y son precisamente las descriptas.
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Sandy

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Re: Nacional 2019 - Nivel 2 - Problema 1

Mensaje sin leer por Sandy » Sab 16 Nov, 2019 3:07 am

lichafilloy escribió:
Jue 14 Nov, 2019 2:26 pm

Como $(n-1), n, (n+1)$ son coprimos dos a dos para $n \geq 2$
Un mínimo comentario; esto no es cierto. Son coprimos dos a dos para todo $n\geq 3$. Pero obviamente no te importa si $n-1$ y $n+1$ son coprimos entre sí, sino si son coprimos cada uno con $n$ (lo cual sí es cierto para todo $n$ natural)

ignacioc
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Re: Nacional 2019 - Nivel 2 - Problema 1

Mensaje sin leer por ignacioc » Sab 16 Nov, 2019 4:59 pm

Spoiler: mostrar
Primero, vamos a demostrar que tres enteros $x$, $y$, y $z$ están en progresión aritmética si y solo si $\frac{x+z}{2}$$=$$y$.
Podemos escribir a $y$ como $x+k$ y a $z$ como $x+2k$, con $k$ entero.
$\frac{x+z}{2}$$=$$\frac{x+x+2k}{2}$$=$$\frac{2x+2k}{2}$$=$$x+k$$=$$y$

Ahora, por enunciado, tenemos que $a$$=$$\frac{b(n-1)}{n}$ y que $c$$=$$\frac{b(n+1)}{n}$
$\frac{a+c}{2}$$=$$\frac{\frac{b(n-1)}{n}+\frac{b(n+1)}{n}}{2}$$=$$\frac{\frac{bn-b}{n}+\frac{bn+b}{n}}{2}$$=$$\frac{\frac{bn^{2}-bn+bn^{2}+bn}{n^{2}}}{2}$$=$
$\frac{\frac{bn^{2}+bn^{2}}{n^{2}}}{2}$$=$$\frac{\frac{2bn^{2}}{n^{2}}}{2}$$=$$\frac{2b}{2}$$=$$b$
Por lo tanto, demostramos que $a$, $b$ y $c$ están en progresión aritmética.
Escribamos ahora a $b$ como $a+k$ y a $c$ como $a+2k$, con k entero. Tenemos entonces que $a+b+c=a+a+k+a+2k=3a+3k=3*(a+k)=900$
Entonces, tenemos que $a+k=b=300$
Vamos a demostrar ahora que $\frac{b}{n}$ es entero. Supongamos que $n$ no divide a $b$.
Sabemos que $a$$=$$\frac{b(n-1)}{n}$. Como $n$ no divide a $b$, y $a$ tiene que ser entero por enunciado, $n$ divide a $n-1$, lo cual es un absurdo.
Por lo tanto, $n$ divide a $b$.
Como $b=300$, $n$ puede ser cualquier divisor de $300$ (excepto el $1$). Por lo tanto, $n$ puede tomar $17$ valores posibles, y como cada $n$ describe a una familia, hay $17$ familias.

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Gianni De Rico

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Re: Nacional 2019 - Nivel 2 - Problema 1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 17 Nov, 2019 2:09 pm

Sandy escribió:
Sab 16 Nov, 2019 3:07 am
lichafilloy escribió:
Jue 14 Nov, 2019 2:26 pm

Como $(n-1), n, (n+1)$ son coprimos dos a dos para $n \geq 2$
Un mínimo comentario; esto no es cierto. Son coprimos dos a dos para todo $n\geq 3$. Pero obviamente no te importa si $n-1$ y $n+1$ son coprimos entre sí, sino si son coprimos cada uno con $n$ (lo cual sí es cierto para todo $n$ natural)
Un (mínimo comentario)$^2$. Si $n$ es impar, entonces $\gcd (n-1,n+1)=2$.
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