Bruno elige un número entero positivo $X$. A continuación, Flor elige cuatro números enteros $a$, $b$, $c$, $d$ y calcula $N=(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)(a-c)(b-d)$, la multiplicación de las seis diferencias entre esos cuatro números. Determinar el mayor valor de $X$ con el que Bruno tiene la certeza de que $N$ será múltiplo de $X$.
Tenemos cuatro números y tres restos posibles en la división por $3$, luego, hay dos que tienen el mismo resto en la división por $3$ y por ende su resta será divisible por $3$. Supongamos que hay dos parejas con la misma paridad, sin pérdida de generalidad digamos $a$ y $b$, y $c$ y $d$. Luego $a-b$ y $c-d$ son ambos pares, y por ende el producto total es múltiplo de $4$. Por otro lado, si hay más de dos números con la misma paridad, hay, al menos tres parejas con la misma paridad (por ejemplo si $a,b,c$ t tienen la misma paridad, entonces $(a,b), (b,c), (a,c)$ tienen la misma paridad y por ende sus restas van a ser pares), por lo que en este caso también el producto total es múltiplo de $4$. Luego, $12|N$, por lo que $X \geq 12$. Y veamos que tomando $a=1, b=2, c=3, d=4$ nos queda que $N=12$ por lo que $X=12$ es la solución buscada $\blacksquare$
Post prueba estábamos charlando con @brunZo y nos planteamos como resolver la siguiente generalización del problema:
Sean $a_1, a_2,...,a_n$ enteros positivos. Cuál es el mayor entero positivo $X$ tal que podemos afirmar que
\begin{equation*}
X|N=\prod_{1 \leq i < j \leq n}(a_{i}-a_j)
\end{equation*}
Lo estábamos pensando buscando algún argumento más del tipo combinatorio y cayó Juli Cabrera y lo incineró con:
Propiedades del determinante de la Matriz de Vandermonde.
Resulta que el cociente
\begin{equation*}
\frac{\prod_{1 \leq i < j \leq n}(a_{i}-a_j)}{\prod_{1 \leq i < j \leq n}(i-j)}
\end{equation*}
Es siempre entero, y acá dejo una prueba bastante copada de eso, por lo tanto bueno, la respuesta no es otra cosa que
\begin{equation*}
X=\prod_{1 \leq i < j \leq n}(i-j)
\end{equation*}
Turko Arias escribió: ↑Vie 20 Dic, 2019 8:42 pm
Sean $a_1,a_2,...,a_n$ enteros positivos. Cuál es el mayor entero positivo $X$ tal que podemos afirmar que
$$X\mid N=\prod_{1\leq i<j\leq n}{(a_i−a_j)}$$
Solución: (perdón pero esto estaba entre mis borradores de hace años y quería dejarlo por acá... espero que no sea pura fruta)
Sea $v_p(N)$ el exponente de $p$ en la factorización de $N$. Veremos que $v_p$ se minimiza cuando $a_i=i$:
Primero que nada, veamos que
$$v_p(N)=\sum_{1\leq i<j\leq n}{v_p(a_i−a_j)}=\sum_{k\geq 1}{A_k}$$
donde $A_k$ es la cantidad de parejas $(i,j)$ tales que $p^k\mid a_i-a_j$. Ahora, notemos que esto último se da si y sólo si $a_i\equiv a_j\mod p^k$, por lo que
$$A_k=\sum_{0\leq x\leq p^k-1}{\binom{C_{(p^k,x)}}{2}}$$
donde $C_{(p^k,x)}$ es la cantidad de números $a_i$ tales que $a_i\equiv x\mod p^k$. Entonces, estamos sujetos a que
$$\sum_{0\leq x\leq p^k-1}{C_{(p^k,x)}}=n$$
Introduciremos el siguiente lema: Lema: Sean $x_1,x_2,x_3,...,x_n$ números enteros. Entonces, dada la suma $x_1+x_2+x_3+\dots+x_n=S$, el valor de
$$\binom{x_1}{2}+\binom{x_2}{2}+\binom{x_3}{2}+\cdots+\binom{x_n}{2}$$
se minimiza cuando $x_1, x_2, x_3,..., x_n$ están "lo más cerca posible", es decir, para todo $(i, j)$ vale que $|x_i-x_j|\leq 1$. Demostración: Supongamos que tenemos números $x_1,x_2,x_3,...,x_n$ con $x_i-x_j\geq 2$ para algún $(i,j)$. Sin pérdida de generalidad, digamos $(i,j)=(1,2)$. Entonces, usando que $\binom{k+1}{2}=\binom{k}{2}+(k+1)$, notemos que
$$\sum{\binom{x_i}{2}}=\binom{x_1-1}{2}+\binom{x_2+1}{2}+\sum_{i\geq 3}{\binom{x_i}{2}}+x_1-x_2-1>\binom{x_1-1}{2}+\binom{x_2+1}{2}+\sum_{i\geq 3}{\binom{x_i}{2}}$$
donde la última desigualdad se debe a que $x_1-x_2-1\geq 1$. Entonces, notemos que reemplazar la secuencia original por $x_1-1,x_2+1,x_3,...,x_n$ y el valor $\sum{\binom{x_i}{2}}$ decrece. Ahora,
a) toda secuencia puede reducirse a una en la que $|x_i-x_j|\leq 1$ en finitos pasos, por lo que queda claro que $\sum{\binom{x_i}{2}}$ se minimiza en una secuencia tal que $|x_i-x_j|\leq 1$.
b) existe una secuencia de este tipo, ya que $|x_i-x_j|\leq 1$ implica que los $x_i$ son o bien $a=\left\lfloor\frac{S}{n}\right\rfloor$ o bien $b=\left\lceil\frac{S}{n}\right\rceil$. Si $a=b$, la secuencia es $x_i=\frac{S}{n}$, y si $a\neq b$, hay $x$ valores $a$ e $y$ valores $b$ donde $(x,y)$ es la única solución al sistema $x+y=n$, $ax+by=S$.
Por estas dos restricciones, podemos concluir que cualquier secuencia tal que $|x_i-x_j|\leq 1$ minimiza $\sum{\binom{x_i}{2}}$.
Ahora, usando el lema, notemos que $A_k$ se minimiza cuando $|C_{(p^k,i)}-C_{(p^k,j)}|\leq 1$ para todo $(i,j)$. Pero notemos que $|C_{(p^k,i)}-C_{(p^k,j)}|\leq 1$ se cumple, por ejemplo, cuando $a_i=i$, por lo que, como vimos en el lema, esto implica que $A_k$ se minimiza en este caso. Por ende, $v_p(N)=\sum_{k\geq 1}{A_k}$ también se minimiza en ese caso, como queríamos probar.
Por Palomar hay $2$ números con mismo resto módulo $3$, luego hay alguna diferencia que es múltiplo de $3$, además notemos por Palomar que:
$1$er caso) Hay $3$ números con mismo resto módulo $2$, luego va a haber $3$ diferencias múltiplos de $2$. Luego $X=2.2.2.3=24$
$2$do caso) Hay $2$ números con mismo resto módulo $2$, luego los otros $2$ tienen mismo resto y también va a haber dos diferencias pares. Luego $X=2.2.3=12$.
Veamos que el caso menos favorable, es el segundo, y como no en todos los casos estará la condición del primero, entonces podemos asegurar que $X=12$
@ulisess.kr