Demuestre que existen infinitas ternas $(a,b,c)$ de números enteros mayores que $1$, coprimos dos a dos, tales que $a^b+b^c+c^a$ es múltiplo de $a+b+c$
Afirmo que $(a,b,c)=\left (2n,(2n)^{2n}-2n-1,(2n)^{2n}-1\right )$, con $n\in \mathbb{N}$, es solución.
En efecto, veamos primero que son coprimos dos a dos, tenemos que $2n\left ((2n)^{2n-1}-1\right )-\left ((2n)^{2n}-2n-1\right )=1$, por lo que $a$ y $b$ son coprimos, y como $c=a+b$, entonces es coprimo con ambos.
Por otro lado, tenemos que $$\frac{a^b+b^c+c^a}{a+b+c}=\frac{(2n)^{(2n)^{2n}-2n-1}+\left ((2n)^{2n}-2n-1\right )^{(2n)^{2n}-1}+\left ((2n)^{2n}-1\right )^{2n}}{2\left ((2n)^{2n}-1\right )}$$
Tenemos que $a=2n\equiv 0\pmod 2$, $b=(2n)^{2n}-2n-1\equiv 1\pmod 2$ y $c=(2n)^{2n}-1\equiv 1\pmod 2$, luego, $a^x+b^y+c^z\equiv 0+1+1\equiv 0\pmod 2$ para todos $x,y,z\in \mathbb{N}$, en particular para $(x,y,z)=(b,c,a)$.
Como $2$ y $(2n)^{2n}-1$ son coprimos, basta ver que $$(2n)^{(2n)^{2n}-2n-1}+\left ((2n)^{2n}-2n-1\right )^{(2n)^{2n}-1}+\left ((2n)^{2n}-1\right )^{2n}\equiv 0\pmod{(2n)^{2n}-1}$$ luego, basta ver que $$(2n)^{(2n)^{2n}-2n-1}+\left ((2n)^{2n}-2n-1\right )^{(2n)^{2n}-1}\equiv 0\pmod{(2n)^{2n}-1}$$
Notemos que esto es $a^b+b^{a+b}\pmod{a+b}$, donde $a$ es par y $b$ es impar, luego
$$\begin{align*}
a^b+b^{a+b}\equiv 0\pmod{a+b} & \iff (-b)^b+b^ab^b\equiv 0\pmod{a+b} \\
& \iff -b^b+b^ab^b\equiv 0\pmod{a+b} \\
& \iff b^b(b^a-1)\equiv 0\pmod{a+b} \\
\end{align*}$$
por lo tanto, basta ver que $b^a-1\equiv 0\pmod{a+b}$, pero
$$\begin{align*}
b^a-1\equiv 0\pmod{a+b} & \iff b^a\equiv 1\pmod{a+b} \\
& \iff (-a)^a\equiv 1\pmod{a+b} \\
& \iff a^a\equiv 1\pmod{a+b} \\
\end{align*}$$
finalmente $$a^a=(2n)^{2n}=2n+(2n)^{2n}-2n-1+1=a+b+1\equiv 1\pmod{a+b}$$
Por lo tanto, para cada $n\in \mathbb{N}$, la terna $(a,b,c)=\left (2n,(2n)^{2n}-2n-1,(2n)^{2n}-1\right )$ cumple que $a^b+b^c+c^a$ es múltiplo de $a+b+c$, luego, existen infinitas ternas $(a,b,c)$ que cumplen lo pedido.
