Entrenamiento Rio 2019 - Problema 12 - N2 y N3

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Monazo

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Entrenamiento Rio 2019 - Problema 12 - N2 y N3

Mensaje sin leer por Monazo » Lun 16 Dic, 2019 10:59 am

Hallar todos los enteros positivos $n$ tales que $\frac{n^{3n-2}-3n+1}{3n-2} \in \mathbb{Z}$.

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Joacoini

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Re: Entrenamiento Rio 2019 - Problema 12 - N2 y N3

Mensaje sin leer por Joacoini » Mar 17 Dic, 2019 12:20 pm

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Queremos que $3n-2|n^{3n-2}-1$

Si $n=1$ tenemos una solución.

Si $n>1$, sea $p$ el menor primo tal que $p|3n-2$.
$mcd(p-1;3n-2)=1$

$p|n^{3n-2}-1\Rightarrow ord_p(n)|3n-2$

Pero $ord_p(n)|p-1\Rightarrow ord_p(n)|mcd(3n-2;p-1)=1\Rightarrow ord_p(n)=1\Rightarrow p|n-1$

Pero $mcd(n-1;3n-2)=mcd(n-1;n)\Rightarrow p=1$ Contradicción.
1  
NO HAY ANÁLISIS.

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