CUARENTENA Problema 12

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Mórtimer
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CUARENTENA Problema 12

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Sean $x$, $y$ e $z$ enteros positivos tales que

$(xy+1)(yz+1)(zx+1)$ es cuadrado perfecto.

Probar que $xy+1$, $yz+1$ e $zx+1$ son todos cuadrados perfectos.
A Mórtimer orando,
y con la cabeza dando. 🔮
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Mórtimer
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Re: CUARENTENA Problema 12

Mensaje sin leer por Mórtimer »

Aquí publicaremos la solución oficial.
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Emerson Soriano

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Re: CUARENTENA Problema 12

Mensaje sin leer por Emerson Soriano »

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Supongamos que existen enteros positivos $x$, $y$, $z$ tales que al menos uno de estos tres números $xy+1$, $yz+1$, $zx+1$ no es cuadrado perfecto, pero que el producto $(xy+1)(yz+1)(zx+1)$ sí lo es, y considere que $x+y+z$ es mínimo, donde además se establece la desigualdad $x\leq y\leq z$.

Considere los siguientes números:
$$t=x+y+z+2xyz-2\sqrt{(xy+1)(yz+1)(zx+1)} \hspace{0.4cm}\text{y}\hspace{0.4cm} t'=x+y+z+2xyz+2\sqrt{(xy+1)(yz+1)(zx+1)}.$$
Como $(xy+1)(yz+1)(zx+1)$ es un cuadrado perfecto, entonces los números $t$ y $t'$ son raíces enteras de la ecuación cuadrática en $T$:
$$T^2-(x+y+z+2xyz)T+(x^2+y^2+z^2-2xy-2yz-2zx-4)=0,$$
donde además $t<t'$. Como $t$ es raíz de esta ecuación cuadrática, entonces
$$t^2-(x+y+z+2xyz)t+(x^2+y^2+z^2-2xy-2yz-2zx-4)=0.$$
Esta ecuación también se puede expresar de $3$ formas, las cuales son:
$$\begin{matrix}
(x+y-z-t)^2=4(xy+1)(tz+1)\\

(x-y-z+t)^2=4(yz+1)(tx+1)\\

(x-y+z-t)^2=4(zx+1)(ty+1)
\end{matrix}$$
Multiplicando miembro a miembro las dos últimas, tenemos que
$$(x-y-z+t)^2(x-y+z-t)^2=16(yz+1)(zx+1)(tx+1)(ty+1).$$
Multiplicando a ambos miembros por $(xy+1)^2$, tenemos que
$$(xy+1)^2(x-y-z+t)^2(x-y+z-t)^2=16(xy+1)(yz+1)(zx+1)(tx+1)(ty+1)(xy+1).$$
Como el lado izquierdo es un cuadrado perfecto, entonces el lado derecho también lo es, además, por dato tenemos que $(xy+1)(yz+1)(zx+1)$ es cuadrado perfecto estrictamente positivo, en consecuencia, el producto $(tx+1)(ty+1)(xy+1)$ es un cuadrado perfecto.

Usando las tres igualdades equivalentes mostradas líneas arriba, sabemos que $tx+1$ es cuadrado perfecto si y sólo si $yz+1$ lo es; y $ty+1$ es cuadrado perfecto si y sólo si $zx+1$ lo es. Por lo tanto, alguno de los tres números $tx+1$, $ty+1$ y $xy+1$ no es cuadrado perfecto.

Observemos también que
$$(tz+1)\frac{(x+y-z-t)^2}{4xy+1}\geq 0.$$
Por lo tanto, $t\geq -\frac{1}{z}$. Si $z=1$, entonces $x=y=z$ (pues $x\leq y\leq z$), pero entonces $(xy+1)(yz+1)(zx+1)=8$, contradiciendo el hecho de que este producto debe ser cuadrado perfecto. Por lo tanto, $z>1$ y en consecuencia se tiene que $t\geq 0$. Si $t=0$, entonces
$$(x+y-z)^2=4(xy+1),\hspace{0.3cm} (x-y-z)^2=4(yz+1),\hspace{0.3cm} (x-y+z)^2=4(zx+1),$$
de donde se tendría que los tres números $xy+1$, $yz+1$, $zx+1$ son cuadrados perfectos, contradiciendo nuestra suposición inicial. Por lo tanto, $t$ es un entero positivo.

Por otro lado, observando el producto de las raíces de la ecuación cuadrática en $T$, tenemos que:
$$tt'=x^2+y^2+z^2-2xy-2yz-2zx-4<r^2-x(2r-y)-y(2r-x)<r^2.$$
Como $t<t'$, entonces $t^2<tt'<r^2$, de donde deducimos que $t<r$.

De esta manera, tenemos una terna $(x, y, t)$ de enteros estrictamente positivos tales que alguno de los números $tx+1$, $ty+1$, $xy+1$ no es cuadrado perfecto, pero el producto $(tx+1)(ty+1)(xy+1)$ sí lo es, donde además $t<z$. Por la minimalidad de $x+y+z$ debemos tener que $x+y+z\leq x+y+t$, pero entonces se tendría que $z\leq t$, lo cual es absurdo.

Estos argumentos demuestran que no existe ninguna terna $(x, y, z)$ de enteros positivos para los cuales alguno de los números $xy+1$, $yz+1$, $zx+1)$ no es cuadrado perfecto, pero el producto $(xy+1)(yz+1)(zx+1)$ sí lo es.

En síntesis, si tenemos enteros positivos $x$, $y$, $z$ tales que $(xy+1)(yz+1)(zx+1)$ es un cuadrado perfecto, entonces los tres números $xy+1$, $yz+1$, $zx+1$ son cuadrados perfectos.
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