Nacional 2020 N1 P4

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Monazo

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Nacional 2020 N1 P4

Mensaje sin leer por Monazo »

Ana y Beto juegan al siguiente juego. Ana escribe cuatro enteros consecutivos de tres dígitos. Beto elige tres de los cuatro números de Ana y calcula su suma. Si el número que obtiene se puede escibir como producto de tres enteros positivos mayores que $1$, gana Beto. En caso contrario, gana Ana. Determinar si Ana puede elegir los cuatro números para ganar con certeza.
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Lib
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Re: Nacional 2020 N1 P4

Mensaje sin leer por Lib »

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Si Ana elege cuatro negativos gana, porque los de factores de Beto tienen que ser positivos, pero suponiendo que los de Ana tenían que ser positivos (porque sino era muy facil): A los 4 numeros consecutivos de Ana los llamos $A$, $A+1$, $A+2$, $A+3$ y hay cuatro sumas posibles que puede hacer Beto: $3A+6$, $3A+5$, $3A+4$, $3A+3$.
$3A+6$ y $3A+3$ son iguales a $3(A+2)$ y $3(A+1)$. Como $A+1$ y $A+2$ son consecutivos, uno de los dos es par, y como tiene tres cifras y es par, ese numero se puede representar como $2X$, entonces una de las sumas es $$3(2X) = 3 \times 2 \times X$$ por lo que Beto siempre puede ganar.

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Matías Delorenzini

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Re: Nacional 2020 N1 P4

Mensaje sin leer por Matías Delorenzini »

Mi pensamiento fue parecido:
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Si escribimos los 4 números como fracciones:

X, X+1, X+2 y X+3

La suma total equivale a 4X + 6
El segundo chico (Beto creo que era) puede borrar uno de los 4 números que eligió Ana (porque va a sumar los otros 3)
Por ende 4X + 6 puede quedar como:

3X + 6
3X + 5
3X + 4
3X + 3

Para hacerlo mas limpio, reemplazamos 3X por Z

Z + 6
Z + 5
Z + 4
Z + 3

Como pueden ver, nos quedan 4 números consecutivos, y como los números múltiplos de 4 están de 4 en 4, en esos 4 números consecutivos va a haber 1 múltiplo de 4. Este múltiplo de 4 (como todos los múltiplos de 4 mayores a 4) se puede expresar como 2 . 2 . N
Por ende este número puede ser expresado como producto de 3 términos.
RTA: Ana no puede elegir estos números
1  
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Laureano U

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Re: Nacional 2020 N1 P4

Mensaje sin leer por Laureano U »

Yo lo pensé bastante parecido a @Lib , pero otra manera de pensarlo es:
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Teniendo los 4 númeross: $x, x+1, x+2, x+3$, y siendo estos consecutivos consecutivos, sabemos que se encontrarán cada uno de los restos en la división por 4, es decir, uno tendrá resto $1$, otro resto $2$, otro resto $3$ y otro resto $0$, fijénse que si tomamos en la suma los números que tengan resto $1, 3, 0$, sumarán resto $0$, es decir que serán múltiplos de $4$, por lo que podrá ser expresado como $2\times 2\times n$.
En definitiva, Ana no puede elegir los números

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Gianni De Rico

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Re: Nacional 2020 N1 P4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Sobre las soluciones de arriba
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Ustedes demostraron que la suma elegida siempre se puede escribir como $2\times 2\times x$ o $2\times 3\times x$, pero ¿Qué pasaría si $x=1$? En ese caso el número como lo expresaron no cumple todavía lo que pide el enunciado.
Si bien no es complicado de justificar que $x\neq 1$, es importante hacerlo.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

Lib
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Re: Nacional 2020 N1 P4

Mensaje sin leer por Lib »

Gianni De Rico escribió:
Mié 16 Dic, 2020 1:09 pm
Sobre las soluciones de arriba
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Ustedes demostraron que la suma elegida siempre se puede escribir como $2\times 2\times x$ o $2\times 3\times x$, pero ¿Qué pasaría si $x=1$? En ese caso el número como lo expresaron no cumple todavía lo que pide el enunciado.
Si bien no es complicado de justificar que $x\neq 1$, es importante hacerlo.
Si volvés a leer mi respuesta, vas a ver que yo lo justifiqué (aunque medio impícitamente) con que $A+1$ y $A+2$ son números que eligió Ana, por lo tanto tienen 3 dígitos, por lo que no puede ser $2\times1$. $X$ tiene que ser por lo menos $50$.

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Gianni De Rico

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Re: Nacional 2020 N1 P4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Claro, el tema es que es mejor escribir explícitamente por qué pasa eso, vos pusiste que se puede escribir de la forma $2x$ (que justamente es la definición de que un número sea par) pero no aclaraste que ese $x$ no es $1$.
El problema con la "justificación implícita" es que eso puede escribirlo tanto alguien que no se dio cuenta de por qué $x\neq 1$ (y por lo tanto no resolvió el problema) como vos, que sí te diste cuenta (y por lo tanto resolviste el problema). Si tu demostración no puede distinguirse de la de alguien que no resolvió el problema, el jurado no tiene forma de saber si vos lo hiciste o no, por eso es conveniente escribir todas las justificaciones de las forma más explícita posible.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

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Matías Delorenzini

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Re: Nacional 2020 N1 P4

Mensaje sin leer por Matías Delorenzini »

Gianni De Rico escribió:
Mié 16 Dic, 2020 1:09 pm
Sobre las soluciones de arriba
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Ustedes demostraron que la suma elegida siempre se puede escribir como $2\times 2\times x$ o $2\times 3\times x$, pero ¿Qué pasaría si $x=1$? En ese caso el número como lo expresaron no cumple todavía lo que pide el enunciado.
Si bien no es complicado de justificar que $x\neq 1$, es importante hacerlo.
Pero en el enunciado dice que son productos mayores a 1
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Gianni De Rico

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Re: Nacional 2020 N1 P4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Justamente, lo que hay que demostrar es que se puede expresar como producto de enteros mayores a $1$.
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Por ejemplo, yo podría decir que $6$ es par y múltiplo de $3$, entonces se puede expresar como $2\times 3\times x$, pero en este caso $x=1$, así que si la suma fuera $6$ entonces Beto no puede expresarla como producto de tres enteros mayores a $1$, por lo que Ana en este caso ganaría.
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