a) Nico debe elegir $10$ números enteros positivos (distintos); a continuación, Uriel elige $6$ de estos números y los suma. Si el resultado es múltiplo de $6$, Uriel gana y si no, pierde. Determinar si Nico puede elegir los $10$ números para que Uriel le sea imposible ganar.
b) Nico debe elegir $11$ números enteros positivos (distintos); a continuación, Uriel elige $6$ de estos números y los suma. Si el resultado es múltiplo de $6$, Uriel gana y si no, pierde. Determinar si Nico puede elegir los $11$ números para que Uriel le sea imposible ganar.
En cada caso, si la respuesta es afirmativa dar un ejemplo y en caso contrario explicar el por qué.
Vamos a ver que Nico puede ganar. Si los 10 números que elige son:
6, 12, 18, 24, 30
1, 7, 13, 19 y 25
Entonces, notemos que, como sus restos al dividir por 6 son:
0, 0, 0, 0, 0,
1, 1, 1, 1 y 1
Nos damos cuenta que siempre que elijamos 6 números, vamos a tener que la suma es 1, 2, 3, 4 o 5, por lo que nunca será múltiplo de 6.
Veamos que Uriel siempre puede escoger 6 números que sumen múltiplo de 6:
Tomemos los 11 números y vamos a dividir a los números pares en algunas parejas y a los números impares en otras parejas, de modo que haya la mayor cantidad de parejas posibles. Si hay dos o más números de la misma paridad sin pareja, entonces podemos emparejarlos y tener una pareja más, por lo que después de hacer esto nos quedan a lo sumo un número de cada paridad. Pero si nos quedara un número de cada paridad, entonces tendríamos que la cantidad total de números es 2 * (cantidad de parejas) + 2, que es par, pero sabíamos que había 11 números (impar), por lo que esto no puede pasar. En consecuencia, sabemos que hay un solo número que quedó sin pareja y por ende, los otros 10 números están en parejas, así que armamos 5 parejas en total.
Bueno, ahora consideremos las 5 sumas de los elementos de cada pareja. Es claro que estas sumas son todas pares (dado que par + par = par e impar + impar = par). Veamos ahora estas 5 sumas módulo 3.
Notemos que si aparecieran los tres restos, entonces podríamos tomar estas tres sumas y sumar todos sus elementos; como las tres sumas eran pares, la suma total es par, y como las sumas tenían restos 0, 1 y 2 módulo 3, la suma total es múltiplo de 3. En definitiva, la suma total es múltiplo de 6.
Por otro lado, si no aparecieran los tres restos, entonces por Palomar hay uno de los dos restos que aparece al menos tres veces, y enconces podríamos tomar tres de estas sumas y sumar todos sus elementos; otra vez, es claro que la suma es par, y como las tres tienen el mismo resto módulo 3, su suma es múltiplo de 3. En definitiva, en este caso también la suma total es múltiplo de 6.
Entonces, vimos que en cualquier caso siempre es posible elegir 6 números de modo que su suma sea múltiplo de 6, como queríamos. : )
