Se tiene un entero positivo $N$ divisible por $2020$. Todos sus dígitos son distintos y si cualesquiera dos de ellos se intercambian, el número resultante no es divisible por $2020$. Determinar cuántos dígitos puede tener el número $N$.
$N = 2020\times y \Rightarrow N = 2^2 \times 5 \times 101\times y$
$\Rightarrow N = 101\times K$
Para $K = a\times 10^x + b\times 10^{x-1}...$
$101\times k = a\times 10^{x+2} + b\times 10^{x+1} + a\times 10^x + b\times 10^{x-1}...$
Es decir, si $k =abcde...$
$101\times K =
a0a0000...
+ b0b000...
+ c0c00...
+ d0d0...
+ e0e...
...$
Veamos cuantos dígitos debe tener $N$ para que no se repitan:
$a0a$ se repite a.
-------------
aoa0
_b0b se repiten a y b.
-------------
aoa00
_bob0
__c0c $10\mid N \Rightarrow c = 0$ y se repite b
-------------
aoa000
_bob00
__c0c0
___d0d puede servir
Entonces si $N$ existe debe tener al menos $6$ dígitos.
Para $N$ con $6$ dígitos (es decir que $N = 101\times abcd$)
$N = 2020y \Rightarrow 2\mid N$ y $5\mid N$ $\Rightarrow d = 0$ pero entonces se repite b. Para que esto no suceda $a+c$ debe ser mayor a $9$ y:
Sea $N = 101\times 7160 = 723160 = 2020\times 358$. Sólo falta ver que no se puedan intercambiar los dígitos:
El $0$ es fijo, ya que $10\mid N$.
$4\mid N \Rightarrow c$ es par. Es decir que el segundo número(contando desde la derecha) es par. Además, $a+c > 9 \Rightarrow$ la suma del segundo dígito más el último dígito es mayor a $9$, por lo que el segundo dígito no puede ser $2 \Rightarrow c = 6$.
$a + c > 9 \Rightarrow a + 6 > 9 \Rightarrow$ el último dígito solo puede ser $7$.
El cuarto dígito es $a + c -10 \Rightarrow$ el cuarto dígito es $3$.
Y sólo son intercambiables el tercer y el quinto dígito.
$101\mid 723160$
$101 \nmid 713260$
Entonces $N = 723160$ funciona
Si $N$ tiene $7$ o más dígitos dígitos:
$1000000 \equiv 100\pmod{2020}$. Es decir que, si $N$ tiene $7$ o más dígitos, el tercero y el séptimo (contando desde la derecha) pueden intercambiarse entre sí y el resultado seguirá siendo múltiplo de $2020$
Rta: $N$ sólo puede tener $6$ dígitos.
Última edición por FabriATK el Vie 25 Feb, 2022 2:03 am, editado 3 veces en total.