V Nacional N1 P3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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julianferres_

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V Nacional N1 P3

Mensaje sin leer por julianferres_ » Mié 28 Mar, 2012 11:26 am

Hallar todos los pares [math] tales que [math] y [math] que satisfacen la ecuación:
[math]

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julianferres_

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Re: V Nacional N1 P3

Mensaje sin leer por julianferres_ » Mié 28 Mar, 2012 11:47 am

Spoiler: mostrar
Observemos que $2^y-3^x \equiv 0 (mod 15)$.
Vemos que $2^y \equiv r_1 (mod 15)$,
Siendo $r_1$ el conjunto$\left\{ 1,2,4,8 \right\}$.
Vemos tambien que $3^x \equiv r_2 (mod 15)$
Siendo $r_2$ el conjunto $\left \{ 1,3,6,9,12 \right \}$
Sabemos ademas que $p_1-p_2=0$ (Siendo $p_1$ y $p_2$ cualquier elemento de$r_1$ y $r_2$respectivamente).
Por deducción observemos que...$\Rightarrow$
$p_1=1$ y
$p_2=1$
Para lograr esto tenemos que=$y=4k$ con $k \in \mathbb{N}$
y $x=0$
Ahora resolvemos la ecuación:
$2^y-3^0=15$
$2^y-1=15$
$2^y=16$
$\log_{2}2^y=\log_{2}16$
$y=4$
Dando una única solución:$\binom{x,y}{0,4}$
Última edición por julianferres_ el Jue 29 Mar, 2012 6:34 pm, editado 1 vez en total.

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Vladislao

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Re: V Nacional N1 P3

Mensaje sin leer por Vladislao » Mié 28 Mar, 2012 1:18 pm

Otra manera de hacerlo es la siguiente:
Spoiler: mostrar
Primero reescribimos la ecuación como [math]. Supongamos que [math], entonces el lado derecho de la ecuación va a ser múltiplo de 3, dado que [math] y [math] van a ser múltiplos de 3. Pero entonces, [math] debería ser múltiplo de 3, lo cual es imposible. Luego, se sigue que es imposible que sea [math], por lo que la única posibilidad es [math]. Por ende, [math], desde acá, es fácil ver que [math] es la única solución posible, por lo que el único par es el [math].
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

Meco
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Re: V Nacional N1 P3

Mensaje sin leer por Meco » Vie 29 Jun, 2012 2:57 am

x,y son reales ? o enteros?

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Ivan

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Re: V Nacional N1 P3

Mensaje sin leer por Ivan » Sab 30 Jun, 2012 1:09 am

Enteros.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

Meco
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Re: V Nacional N1 P3

Mensaje sin leer por Meco » Sab 30 Jun, 2012 2:25 pm

why?

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Ivan

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Re: V Nacional N1 P3

Mensaje sin leer por Ivan » Sab 30 Jun, 2012 5:30 pm

Seguramente el enunciado original decía enteros.

Si no no tiene gracia el problema, tendrías que para cada [math] hay una única solución [math] con [math].
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

HelcsnewsXD
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Re: V Nacional N1 P3

Mensaje sin leer por HelcsnewsXD » Lun 07 Oct, 2019 4:08 pm

Spoiler: mostrar
Sabemos que $2^{y}-3^{x}=15$ / $x,y$ $\epsilon$ $\mathbb{N_0}$ (considero esto porque sino no tendría sentido el problema). Por esto tenemos que:
$2^{y}=15+3^{x}$, y si $x>0 \Rightarrow 2^{y}\equiv 0\pmod 3$ Lo cual es un absurdo $\Rightarrow x=0 \Rightarrow$
$\Rightarrow 2^{y}=16 \Rightarrow y=4$
Por esto, el único par $(x,y)$ que cumple es $(0,4)$

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