ONEM 2021 - Fase 3 - Nivel 1 - P6

[Nando]

En un concurso de televisión participan Ana, Bruno y Carlos. El concurso consiste en que el presentador hace seis preguntas que se deben responder con verdadero $(V)$ o falso $(F)$. Por cada respuesta correcta un participante recibe $600$ soles de premio y por cada respuesta incorrecta no recibe nada. Las respuestas de cada uno, en orden, fueron las siguientes:\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Ana} &  F & F & V & V & V & V \\
\hline
\text{Bruno} & V & F & F & V & V & V \\
\hline
\text{Carlos} & F & V & F & F & F & F \\
\hline
\end{array}Si Ana y Bruno obtuvieron $2400$ y $1200$ soles de premio, respectivamente, ¿cuántos soles obtuvo Carlos?

[drynshock]

¡¡¿¿¡¡¿¿¡Que re poronga es un sol!!?!???!?

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Notar que para que Ana haya ganado $2400$ entonces tuvo que haber acertado $4$ preguntas y de igual manera Bruno tuvo que acertar $2$.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Respuesta} &  & & & & & & Puntaje \\
\hline
\text{Ana} &  F & F & V & V & V & V & \\
\hline
\text{Bruno} & V & F & F & V & V & V &\\
\hline
\text{Carlos} & F & V & F & F & F & F &\\
\hline
\end{array}$

Notemos que si en las ultimas tres columnas hay $3$ respuestas falsas, entonces no se cumple la condición de que Ana haya acertado en $4$. También, en caso de que no haya ninguna falsa, entonces no se cumple de que Bruno haya acertado en $2$. Luego, entre las ultimas $3$ opciones debe haber $1$ o $2$ respuestas falsas. Dada la simetría, y sin perdida de generalidad digamos que la respuesta de la ultima columna es $F$ y veamos dos casos:

Caso 1) Entre las ultimas $3$ hay $2$ respuestas $F$
Luego, para que el primero haya acertado en $4$ se debe cumplir que:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Respuesta} & F & F & V & V & F & F & Puntaje \\
\hline
\text{Ana} &  F & F & V & V & V & V & 2400 \\
\hline
\text{Bruno} & V & F & F & V & V & V &1200 \\
\hline
\text{Carlos} & F & V & F & F & F & F &\boxed{1800}\\
\hline
\end{array}$

Caso 2) Entre las ultimas $3$ hay solo $1$ respuesta $F$
Luego, para que el segundo haya acertado en $2$ se debe cumplir que:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Respuesta} &  F & V & V & V& V& F& Puntaje \\
\hline
\text{Ana} &  F & F & V & V & V & V & 2400\\
\hline
\text{Bruno} & V & F & F & V & V & V & 1200\\
\hline
\text{Carlos} & F & V & F & F & F & F & \boxed{1800}\\
\hline
\end{array}$

En ambos casos se cumple que Carlos gana $1800$ PESOS.

[bruno]

Mas o menos la misma idea de descarte:

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La unica diferencia entre las respuestas de Ana y Bruno son la primera y la tercera; Ana obtuvo $1200$ soles mas (equivalente a dos respuestas correctas), entonces las respuestas correctas a dichas preguntas son las de Ana. Las otras cuatro preguntas suman $1200$ soles, entonces hay dos correctas y dos incorrectas.
Si veo a Carlos, en las preguntas dos, cuatro, cinco y seis contesto lo opuesto a Ana y Bruno, entonces las dos preguntas que estaban mal antes pasan a estar bien y viceversa, entonces vuelve a obtener dos respuestas correctas porque los efectos se netean ($1200$ soles). Y viendo las respuestas uno y tres, la uno es correcta y la tres es incorrecta, entonces obtiene $600$ soles mas. Gana en total $1800$ soles