Cono Sur 2021 - P5

[Felibauk]

Dado un entero $n \geq 3$, determinar si existen $n$ enteros $b_{1}, b_{2},..., b_{n}$, distintos dos a dos (es decir, $b_{i} \neq b_{j}$ para todo $i \neq j$) y un polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros, tales que $P(b_{1})=b_{2}, P(b_{2})=b_{3},..., P(b_{n-1})=b_{n}$ y $P(b_{n})=b_{1}$.

[Turko Arias]

Este problema se tomó en la XII Competencia Ernesto Paenza en 1997 y era el problema 3 de esa prueba.

Además, este problema puede ser utilizado como lema para resolver el Problema 5 IMO 2006

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Lemita: Si $a, b$ son enteros distintos entonces $a-b \mid a^n-b^n$ para todo $n$ entero positivo.

Demostración:

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$$a-b \equiv 0 (\textrm{mod}\ |a-b|)$$
$$a \equiv b (\textrm{mod}\ |a-b|)$$
$$a^n \equiv b^n (\textrm{mod}\ |a-b|)$$
$$a^n-b^n \equiv 0 (\textrm{mod}\ |a-b|)$$

Lema: Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros. Si $a$ y $b$ son enteros distintos entonces $a-b \mid P(a)-P(b)$.

Demostración:

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Sea $P(x)=c_nx^n+...c_1x+c_0$ entonces
$$P(a)-P(b)=(c_na^n+...c_1a+c_0)-(c_nb^n+...c_1b+c_0)=c_n(a^n-b^n)+...+a_1(a-b)$$
Pero por nuestro lemita cada termino de la pinta $a^k-b^k$ es divisible por $a-b$, luego $P(a)-P(b)$ lo es y estamos.

Por nuestro lema tenemos que $$b_1-b_2 \mid P(b_1)-P(b_2)=b_2-b_3$$
$$b_2-b_3 \mid P(b_2)-P(b_3)=b_3-b_4$$
...
$$b_{n-1}-b_n \mid P(b_{n-1})-P(b_n)=b_n-b_1$$
$$b_n-b_1 \mid P(b_n)-P(b_1)=b_1-b_2$$
De donde $|b_1-b_2| \leq |b_2-b_3| \leq ... \leq |b_n-b_1| \leq |b_1-b_2|$ y resulta que $|b_1-b_2| = |b_2-b_3| = ... = |b_n-b_1|$
Notemos que si para algún $k$ sucediera que $b_{k-1}-b_{k}=-(b_k-b_{k+1})$ entonces $b_{k-1}=b_{k+1}$ contradiciendo el enunciado, luego tenemos que $b_1-b_2 = b_2-b_3 = ... = b_n-b_1$. Notamos entonces que $b_1,b_2,...,b_n, b_1$ resulta ser una progresión aritmética con el primer elemento igual al último, pero esto solo es posible si la diferencia es cero y por ende todos los $b_i$ resultan iguales contradiciendo lo pedido. Luego, no existen enteros $b_1,..., b_n$ distintos cumpliendo lo pedido y estamos $\blacksquare$

[Emerson Soriano]

Una versión con $n=3$ se propuso en USA 1974.
https://artofproblemsolving.com/communi ... 1974_usamo
También he visto algunas generalizaciones en algunos pdf que circulan durante años.