Selectivo Cono 2022 P1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Gianni De Rico

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Selectivo Cono 2022 P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Alan multiplicó dos números enteros que difieren en $9$. Felipe multiplicó dos números enteros que difieren en $6$. Los dos obtuvieron el mismo resultado, $M$. Determinar todos los posibles valores de $M$.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850
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Monazo

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Re: Selectivo Cono 2022 P1

Mensaje sin leer por Monazo »

Esquema de solución a fuerza bruta
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Sea $x$ el menor de la pareja que difiere en $6$, y sea $y$ el menor de la pareja que difiere en $9$. Analizamos los siguientes casos.


Caso 1: El producto da $0$.

Es claro que existe un ejemplo para ambos. $(0,6)$ y $(0,9)$ es uno de ellos.

Caso 2: $x$ e $y$ son ambos positivos.

De esta manera sabemos que $y < x < y+3$ (Se ve muy fácil planteando desigualdades, si no pasa esa condición, se puede determinar que un producto terminará siendo mayor que otro). De esta manera plantemos las $2$ ecuaciones.

Si $x = y+1$
$$(y+1)\cdot (y+7) = y \cdot (y+9) \implies y = 7$$

Si $x = y+2$
$$(y+2)\cdot (y+8) = y \cdot (y+9) \implies y = -16$$

Notemos que ambas ecuaciones pueden ser resueltas de manera muy sencilla puesto que al distribuir se cancelan las $y^2$. De esta manera encontramos los posibles valores de $M$ que son: $M = 8 \cdot 14 = 120$ y $-14 \cdot -8 = 120$. Obtenemos que $120$ es el único hasta el momento.

Caso 3: $x+6$ e $y+9$ son ambos negativos.

Este caso es idéntico al anterior. Al plantear la desigualdad, se cancelan los signos negativos y llegamos a la misma conclusión. Por eso encontramos el caso $y = -16$ en el paso anterior.

Caso 4: $x$ es negativo y $x+6$ es positivo.

Este caso se brouteforcea. Son $5$ los posibles casos:

1) $ -1\cdot 5 = y \cdot (y+9)$
2) $ -2\cdot 4 = y \cdot (y+9)$
3) $ -3\cdot 3 = y \cdot (y+9)$
4) $ -4\cdot 2 = y \cdot (y+9)$
4) $ -5\cdot 1 = y \cdot (y+9)$

Notemos que en el fondo terminan siendo $3$ los posibles casos. Se pueden resolver como cualquier cuadrática, o sino, sabemos que el término independiente será siempre el término de la izquiera y que el coeficiente principal es $1$, y tratar de hallar las raíces aplicando teorema de Gauss (en definitiva, si existe raíz entera, tiene que ser un divisor del término independiente). Resolviendo nos queda que el otro posible valor que puede tomar $M$ es $M = -8$.

Finalmente, son $3$ los posibles valores para $M$, los cuales son: $M = 0$, $M = -8$ y $M = 120$.
Soy una Estufa en Piloto
:shock:
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Gianni De Rico

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Re: Selectivo Cono 2022 P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Sin fuerza bruta
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Sean $x$ y $x+9$ los números que multiplicó Alan y sean $y-3$ e $y+3$ (trucazo) los números que multiplicó Felipe. Entonces el enunciado nos dice que $x(x+9)=(y-3)(y+3)$, es decir que $x^2+9x+9=y^2$ (el trucazo nos permite sacar "limpio" a $y^2$).
Mirando toda la ecuación módulo $8$ nos queda que $x^2+x+1\equiv y^2$. Ahora, usando que los residuos cuadráticos módulo $8$ son $0,1,4$, probando los $8$ casitos sale que solamente puede ser $x\equiv 0\pmod 8$ o $x\equiv 7\pmod 8$. Probando un poco encontramos las soluciones $x=7$, $x=0$, $x=-1$, $x=-8$, $x=-9$ y $x=-16$, que nos dan $M=112$, $M=0$, $M=-8$, $M=-8$, $M=0$ y $M=112$, respectivamente, y con otros números no parece funcionar. Vamos a ver que son las únicas soluciones.

Como $x^2+9x+9=y^2$, entonces tiene que ser un cuadrado perfecto. El truco clásico acá es ver que para ciertos $x$, está entre dos cuadrados perfectos consecutivos, así que no puede ser un cuadrado perfecto. Si $x>7$ (ea) tenemos que $(x+4)^2<x^2+9x+9<(x+5)^2$, y si $x<-16$ (eaea) tenemos que $(x+5)^2<x^2+9x+9<(x+4)^2$. Entonces para que $x^2+9x+9$ sea un cuadrado, tiene que ser $-16\leq x\leq 7$, y ya sabemos que ahí todas las soluciones son las que encontramos antes.

Los posibles valores de $M$ son $-8$, $0$ y $112$.
Comentario
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En realidad, uno puede tirar directamente la acotación con los cuadrados (si sabe cómo buscarlos) y recién al final mirar módulo $8$ para llegar a las soluciones que andan, puse primero lo de ver módulo $8$ para que sea un poco más intuitivo por qué vemos que se rompe para $x>7$ o $x<-16$.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850
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Turko Arias

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Re: Selectivo Cono 2022 P1

Mensaje sin leer por Turko Arias »

Empieza linda, se remata con la escuela platense de la fuerza bruta:
Spoiler: mostrar
Sean $a, a-6, b, b-9$ los números escritos. Se tiene:
$$a(a-6)=b(b-9)$$
$$a^2-6a=b^2-9b$$
$$a^2-6a+\frac{81}{4}-\frac{81}{4}=b^2-9b+\frac{81}{4}-\frac{81}{4}$$
$$(a-3)^2-9=(b-\frac{9}{2})^2-\frac{81}{4}$$
$$(b-\frac{9}{2})^2-(a-3)^2=\frac{45}{4}$$
$$(2b-9)^2-(2a-6)^2=45$$
$$(2b+2a-15)(2b-2a-3)=45$$
Ahora, los posibles pares ordenados de enteros que multiplicados dan $45$ son:
$(1,45), (3,15), (5, 9), (9,5), (15,3), (45,1), (-1,-45), (-3,-15), (-5,-9), (-9,-5), (-15,-3), (-45,-1)$
Y se resuelven todos iguales, son sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Los pares $(a,b)$ obtenidos como solución, que automáticamente definen los cuatro números buscados, son:
$(-8, 16), (0, 9), (2, 8), (4, 8), (6, 9), (14, 16), (14, -7), (6, 0), (4, 1), (2, 1), (0, 0), (-8, -7)$
Que nos da que los posibles valores de $M$ son $-8, 0$ y $112$ y estamos $\blacksquare$
Fundamentalista del Aire Acondicionado

Y todo el orgullo de ser bien bilardista
usuario250

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Re: Selectivo Cono 2022 P1

Mensaje sin leer por usuario250 »

@Turko Arias Muy bien la escuela platense de fuerza bruta.
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