Selectivo Cono 2022 P4

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Gianni De Rico

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Selectivo Cono 2022 P4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Un entero $n>10$ tiene entre sus divisores enteros positivos dos, $a$ y $b$, tales que $n=a^2+b$. Demostrar que existe por lo menos un número comprendido entre $a$ y $b$ que es divisor de $n$.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850
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Turko Arias

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Re: Selectivo Cono 2022 P4

Mensaje sin leer por Turko Arias »

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$a \mid n$, $a\mid a^2$ entonces $a\mid b$, por lo que $b=ka$ con $k$ entero positivo. Tenemos $n=a^2+ak=a(a+k)$. Claramente $a+k>a$, veamos si además es menor que $b$. Queremos:
$$a+k<ak$$
$$1<ak-a-k+1$$
$$1<(a-1)(k-1)$$
Como $a$ y $b$ son distintos, $k>1$.
Si $k=2$ entonces $10<a^2+2a$ que si $a<3$ no se cumple, luego $a \geq 3$ y la cota vale.
Si $a=1$, entonces $n=1+k$, pero también $k \mid n$ por lo que $1+k= n \geq k(1+k)$ (porque $k$ y $k+1$ son coprimos) que solo es cierto si $k=1$, por lo que $n=2$, pero el enunciado dice $n>10$ así que este caso queda descartado.
Si $a=2$ por lo visto antes $k$ no puede ser $2$, por lo que $k \geq 3$ y la cota vale.
Si $a \geq 3$, como $k>1$ tenemos que $(a-1)(k-1) \geq 2$ así que también vale y terminamos $\blacksquare$
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Gianni De Rico

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Re: Selectivo Cono 2022 P4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Turko Arias escribió: Vie 08 Abr, 2022 5:51 pm
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$a\mid n$, $a\mid a^2$ entonces $a\mid b$, por lo que $b=ka$ con $k$ entero positivo. Tenemos $n=a^2+ak=a(a+k)$. Claramente $a+k>a$, veamos si además es menor que $b$. Queremos:
$$a+k<ak$$
$$1<ak-a-k+1$$
$$1<(a-1)(k-1)$$
Como $a$ y $b$ son distintos, $k>1$.
Spoiler: mostrar
Notemos también que $b\mid n$ y $b\mid b$, con lo que $b\mid a^2$, es decir que $b\leq a^2$.
Tenemos que $10<n=a^2+b\leq 2a^2$, con lo que $a>2$ y la desigualdad vale.
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Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850
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