Olimpíada de Mayo 2022 N2 P4

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Matías V5

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Olimpíada de Mayo 2022 N2 P4

Mensaje sin leer por Matías V5 »

a) En cada vértice de un triángulo se escribe un entero positivo. Luego, en cada lado del triángulo se escribe el máximo común divisor de sus extremos. ¿Es posible que los números escritos en los lados sean tres enteros consecutivos, en algún orden?
b) En cada vértice de un tetraedro se escribe un entero positivo. Luego, en cada arista del tetraedro se escribe el máximo común divisor de sus extremos. ¿Es posible que los números escritos en los lados sean seis enteros consecutivos, en algún orden?
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=SoRiOoqao5Y
Kfa0
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Re: Olimpíada de Mayo 2022 N2 P4

Mensaje sin leer por Kfa0 »

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a) Es posible. Un ejemplo es con los números $2$, $3$, y $6$, que tienen como máximo común divisor $1$, $2$ y $3$.

b) Suponiendo que es posible, como son $6$ números consecutivos, hay exactamente $2$ números que son múltiplos de $3$ escritos en las aristas. Entonces los números en los vértices de estas aristas también lo son. Si hay $2$ o menos vértices con un múltiplo de $3$, ninguna o solo una arista tiene escrito un múltiplo de $3$, y si hay $3$ o más vértices con un múltiplo de $3$ entonces hay $3$ o más aristas con un múltiplo de $3$. Por lo tanto no se puede lograr el objetivo.
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