Selectivo de Ibero 2002 P5

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
crimeeee
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Selectivo de Ibero 2002 P5

Mensaje sin leer por crimeeee » Lun 02 Jul, 2012 9:18 pm

Hallar todas las soluciones reales de la ecuación$$\left \{\frac{1}{2}x\right \}=\frac{1}{16}x+\frac{1}{32}$$Aclaración: Las llaves indican la parte decimal del número que encierran, es decir, $\{a\}=a-[a]$, donde $[a]$ es la parte entera de $a$.

crimeeee
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Re: P. 5 Sel Ibero 2002

Mensaje sin leer por crimeeee » Sab 07 Jul, 2012 4:09 pm

Spoiler: mostrar
[math]
[math]
[math]
[math]

Como el lado derecho es un entero, entonces [math] [math] [math] [math] [math], con [math] entero.

Entonces:
Si [math]
[math]
[math]
[math]
[math] [math] [math]

Si [math], entonces [math], con [math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math] por lo que no hay soluciones negativas.

Si [math] hay solución.

Por lo tanto las soluciones son de la forma [math], con [math]
Última edición por crimeeee el Sab 13 Dic, 2014 10:18 pm, editado 1 vez en total.

bruno
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Re: P. 5 Sel Ibero 2002

Mensaje sin leer por bruno » Dom 08 Jul, 2012 7:07 pm

Hay soluciones negativas por ejemplo [math]

crimeeee
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.

Mensaje sin leer por crimeeee » Dom 08 Jul, 2012 8:04 pm

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Última edición por crimeeee el Dom 08 Mar, 2015 8:01 pm, editado 1 vez en total.

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julianferres_

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Re: P. 5 Sel Ibero 2002

Mensaje sin leer por julianferres_ » Vie 03 Ene, 2014 12:48 am

crimeeee escribió: Si [math] hay solución.

Por lo tanto las soluciones son de la forma [math], con [math]
Si [math] entonces [math] que no tiene la forma anteriormente enunciada. [math]

tuvie

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Re: Selectivo de Ibero 2002 P5

Mensaje sin leer por tuvie » Vie 03 Ene, 2014 1:53 am

De hecho con [math] en ese caso hay solución, ya que te termina quedando [math], que tiene sentido en la ecuación.

Ahora, lo que pasa con la solución de @crimeeee, es que se estan perdiendo algunas soluciones. Lo que hice yo fue:

Si [math] es divisible por [math], y como [math] y [math] son enteros, entonces te termina quedando que [math] es un entero. Eso ocurre si y solo si [math] es racional y tiene como denominador a un divisor, ya sea positivo o negativo, de [math], y analizando un poco la paridad de [math], ese divisor debe ser par, para que te termine quedando todo entero. Ahí te quedan [math] casos y acotás en cada uno la expresión [math] por arriba y por abajo, usando la propiedad de la función de parte entera.

Una solución que se pierde es [math]. Esa ya está en su post. Después posteo mi solución.

Felibauk

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Re: Selectivo de Ibero 2002 P5

Mensaje sin leer por Felibauk » Dom 05 Jul, 2020 8:20 pm

Spoiler: mostrar
Sean $t \in \mathbb {Z}$ y $k \in \mathbb {R}$, tales que $x = 2t + k$ y $0 \leq k < 2$. De este modo, $\left \{\frac{1}{2}x\right \} = \frac {1}{2} x - [\frac {1}{2} x] = \frac {1}{2} (2t + k) - [\frac {1}{2} (2t + k)] = (t + \frac {k}{2}) - [t + \frac {k}{2}] = t + \frac {k}{2} - t = \frac {k}{2}$.
De este modo, la ecuación se transforma en $\frac {k}{2} = \frac {1}{16} x+ \frac {1}{32} = \frac {1}{16} (2t + k)+ \frac {1}{32} = \frac {4t + 2k + 1}{32}$. Multiplicando por $32$ a ambos lados, $16k = 4t + 2k + 1$, restando $2k$, $14k = 4t + 1$ y, finalmente, dividiendo entre $14$, llegamos a que $0 \leq k = \frac {4t + 1}{14} < 2$.
Nos quedan dos desigualdades: $0 \leq 4t + 1$ y $4t + 1 < 28$. Resolviéndolas, concluimos que $0 \leq t \leq 6$ ($t$ es entero). Con esto nos quedan siete casos, para cada valor de $t$ calcular el valor de $k = \frac {4t + 1}{14}$ y luego, el de $x = 2t + k$.

RTA: $x = \left \{\frac {1}{14}; \frac {33}{14}; \frac {65}{14}; \frac {97}{14}; \frac {129}{14}; \frac {23}{2}; \frac {193}{14} \right \}$

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