Consideramos la sucesión infinita de números enteros positivos $a_n$ que para cada $n\geq 3$ satisface$$a_n=a_1\cdot a_2+a_2\cdot a_3+\cdots +a_{n-2}\cdot a_{n-1}-1.$$a) Demostrar que hay al menos un número primo que es un divisor de infinitos términos de esta sucesión.
b) Demostrar que hay infinitos números primos tales que cada uno de ellos es un divisor de infinitos términos de esta sucesión.
Primero, notemos que\begin{align*}a_{n+1} & =a_1a_2+\cdots +a_{n-2}a_{n-1}+a_{n-1}a_n-1 \\
& =a_n+a_{n-1}a_n \\
& =a_n(a_{n-1}+1)
\end{align*}para todo $n\geq 3$. Luego, $a_n\mid a_{n+1}$ para todo $n\geq 3$, con lo que si un primo $p$ verifica que $p\mid a_n$ para algún $n\geq 3$, entonces $p\mid a_{n+1}$, y así $p\mid a_k$ para todo $k\geq n$, por inducción. Luego, para la parte a) basta ver que existe un $n$ tal que $a_n$ tiene un divisor primo, y para la parte b) basta ver que el conjunto de los primos que dividen a algún $a_n$ es infinito.
De la primera oración tenemos que $a_4=a_3(a_2+1)$, pero $a_3>0$ por ser un entero positivo, y $a_2+1\geq 1+1=2$ por ser $a_2$ un entero positivo, de modo que $a_2+1$ tiene un divisor primo $p$, y así $p\mid a_4$.
Ahora, de la igualdad $a_{n+1}=a_n(a_{n-1}+1)$ para todo $n\geq 3$ tenemos que$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=a_{n-1}+1$$para todo $n\geq 3$, y así\begin{align*}\frac{a_{n+1}}{a_3} & =\prod \limits _{k=3}^n\frac{a_{k+1}}{a_k} \\
& =\prod \limits _{k=3}^n(a_{k-1}+1) \\
& =(a_2+1)(a_3+1)\cdots (a_{n-1}+1)
\end{align*}para todo $n\geq 3$, por lo que$$a_{n+1}=a_3(a_2+1)(a_3+1)\cdots (a_{n-1}+1)$$para todo $n\geq 3$. Luego,\begin{align*}a_{n+3} & =a_3(a_2+1)(a_3+1)\cdots (a_{n-1}+1)(a_n+1)(a_{n+1}+1) \\
& =a_{n+1}(a_{n+1}+1)(a_n+1)
\end{align*}para todo $n\geq 3$. Como $a_{n+1}$ y $a_{n+1}+1$ son coprimos, resulta que $a_{n+3}$ tiene todos los factores primos de $a_{n+1}$ y al menos uno más, que será uno de los factores de $a_{n+1}+1$, para todo $n\geq 3$. Luego, para todo $n\geq 3$ vale que si $a_{n+1}$ tiene $m$ factores primos distintos entonces $a_{n+3}$ tiene por lo menos $m+1$ factores primos distintos. Por inducción se sigue que si $a_4$ tiene $P$ factores primos distintos, entonces $a_{3k+4}$ tiene al menos $P+k$ factores primos distintos, para todo $k\in \mathbb{N}$. Luego, el conjunto de los primos que dividen a algún $a_n$ es infinito, como queríamos.
Notemos que para todo entero positivo $n\geq 3$, tenemos que $a_{n+1}=a_n(a_{n-1}+1)$. Por lo tanto, $a_n\mid a_{n+1}$ para todo $n\geq 3$. Luego, si $a_n$ tiene algún factor primo, entonces este número también sería factor primo de todos los términos siguientes.
Si $a_1=a_2=1$, entonces todos los términos siguientes son iguales a cero y el resultado es evidente para ambas partes. Así que podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que al menos uno de los números $a_1$, $a_2$ es mayor que $1$, entonces $a_4=(a_1a_2-1)(a_2+1)\geq 2$.y la secuencia es estrictamente creciente desde $n\geq 3$.
Denotemos por $p_n$ al menor factor primo de $a_n+1$. Como $p_n$ divide a $a_{n+2}$, entonces $p_{n+2}$ y $p_n$ son distintos. Mediante una inducción simple se puede demostrar fácilmente que todos los primos de la forma $p_{n+2k}$ son distintos dos a dos y, además, por el primer párrafo, cada uno de ellos divide a infinitos términos de la secuencia.
Empecemos el problema notando que a partir de $n\geq5$:
$a_n = a_{n-1} +1+ a_{n-1} . a_{n-2}-1= a_{n-1} . (a_{n-2} + 1)$
Como esto se cumple, sabemos que los factores primos de un número de la sucesión estarán en la factorización del siguiente (además de otros). Entonces si $n_4 ≠ 1$ entonces todos los números siguientes tendrán los factores primos de este. Esto es verdad porque $n_4$ es la suma de 3 naturales menos 1 lo que no puede ser 1.
La siguiente afirmación a demostrar es que surgirán infinitos primos en la sucesión. Esto es verdad ya que $a_{n-2}+1$ no es múltiplo de ninguno de factores primos de $a_{n-2}$ porque al dividrlo por cualquiera de ellos queda resto 1. Esto nos dice que a partir del tercer número, en cada ciclo de 3 números surgirá por lo menos un primo que dividirá a todos los siguientes números de la lista.
