Sumatoria

[3,14]

¿Alguien podría mandar un apunte de todo acerca de sumatoria: como se usa, las propiedades, como se resuelve, etc? Recién entro al nivel 2 y hay muchas respuestas que no entiendo que usan este tema.

[ktc123]

Al fondo de este post hay una explicacion
http://omaforos.com.ar/viewtopic.php?f= ... oria#p1921
Si podes conseguir el Libro q se llama Como Contar sin Contar(que es de combinatoria y lo vende la oma) al final tiene un capítulo dedicado a sumatoria e inducción( y está fácilmente explicado )

[Prillo]

Yo me acuerdo la primera vez que vi el simbolo de una sumatoria en una solución. Me dio bastante miedo. Son grandes, imponentes, y alarmantemente parecidas a la mandíbula de un tiburón blanco adulto en su máxima expresión.

Pero la realidad es que las sumatorias no tienen ningún poder especial. Están porque los matemáticos somos unos vagos que nos da paja escribir de más. Como la famosa notación de exponenciación. ¿Vos escribirías $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot
2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot
2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 \cdot 2\cdot
2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$ en vez de $2^{40}$?. ¿Pero qué pasa si tuviéramos una expresión como
$1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25+26+27+28+29+30+31+32+33+34+35+36+37+38+39+40?$
Cualquier buen matemático se daría cuenta que la expresión tiene cierto patrón, que tiene bastante regularidad. Ahí es cuando los matemáticos se reunieron en la matecueva a ver cómo podían saciar su vagancia y de alguna manera no escribir tanto. Y, ahá!, magnifica idea la que tuvieron: ¿Por qué no escribir directamente $1+2+3+\dots+40$? Esto les sirvió por varios siglos hastaa que un día vino el Barón de Munchausen y les dijo a los matemáticos que escriban la suma

$11+12+13+\dots+20+$
$102+104+106+\dots+120+$
$1003+1006+\dots+1030+$
$\vdots$
$100000009+1000000018+\dots+1000000090.$

más corto de lo que ya estaba. Y ahora los matemáticos estaban en problemas porque parecía imposible simplificar esa suma más de lo que ya estaba sin hacer que pierda el sentido. Pero ahí vino Gatúbela y se dió cuenta de la terrible verdad de simplificar expresiones con puntitos. Se dio cuenta de que por más que TODA suma es una suma de términos de una sucesión $a_1+a_2+\dots+a_{n}$, si la sucesión es muy rebuscada, ya no se puede escribir con puntitos usando unos pocos términos porque esos pocos términos no alcanzan para que se entienda la suma. Por ejemplo, en la suma de arriba, no alcanza con escribir $11+12+13+\dots+1000000009$, ni siquiera $11+\dots+20+\dots+1000000009+\dots+1000000090$, ¿ó vos te imaginarías lo que quiere decir? De hecho esta última expresión ya con $4$ términos nada más es asquerosamente larga... Gatúbela entonces propuso que en un sistema de reperesentación adecuado, en vez de escribir en forma EXPLÍCITA algunos términos, había que escribirlos en forma IMPLÍCITA, pero a todos. Por ejemplo, en la suma de arriba, el número en la fila $f$ y la columna $c$ es $10^f+fc$. Y entonces podemos escribir simplemente que la suma de arriba es $[\text{sumar sobre todos los }1\le f,c\le 10]\ 10^f+fc$. Pero como los matemáticos son seres temibles y les gustan los símbolos, decidieron coronar su creación con el temible símbolo $\sum$. De ahora en más, en vez de escribir ''sumar sobre todos los", esto quedaría representado por el símbolo $\sum$. Y así escribirían en cambio $\displaystyle \sum_{1\le f,c\le 10} 10^f+fc$. Pero los matemáticos son más raros todavía, y les gusta codificar más sus expresiones. Entonces en vez de poner una condición de la forma $m\le i\le M$ debajo de la sumatoria, pondrían debajo de la sumatoria $i=m$, y arriba de ella una $M$. Entonces por ejemplo, la suma de los números de la fila $f$, que se escribiría como $\displaystyle \sum_{1\le c\le 10} 10^f+fc$, ahora también se puede escribir como $\displaystyle \sum_{c=1}^{10} 10^f+fc$. Y si te hacés el mago, podrías escribir también $\displaystyle \sum_{1\le f,c\le 10} 10^f+fc=\sum_{f=1}^{10}\left(\sum_{c=1}^{10}10^f+fc\right)$, ó directamente $\displaystyle \sum_{f=1}^{10} \sum_{c=1}^{10}10^f+fc$.

Más allá de que las sumatorias no digan nada nuevo, se las puede manipular en forma interesante. Tal como al exponenciar teníamos la regla $(a^b)^c=(a^c)^b$, con las sumatorias pasa algo parecido. Si nuestros términos a sumar son de la forma $f(i,j)$ (por ejemplo en el caso anterior tendríamos $f(i,j)=10^i+ij$) entonces es lo mismo escribir $\displaystyle \sum_{i=m_1}^{M_1}\sum_{j=m_2}^{M_2} f(i,j)$ que $\displaystyle \sum_{j=m_2}^{M_2}\sum_{i=m_1}^{M_1} f(i,j)$. Y una propiedad más loca es que si tus términos se escriben como $f(i,j)=g(i)h(j)$ entonces $\displaystyle \sum_{i=m_1}^{M_1}\sum_{j=m_2}^{M_2} f(i,j)=\sum_{i=m_1}^{M_1}\sum_{j=m_2}^{M_2} g(i)h(j)=\left(\sum_{i=m_1}^{M_1} g(i)\right)\left(\sum_{j=m_2}^{M_2}h(j)\right)$. Esto último se cumple porque no es otra cosa que hacer la distributiva entre los dos productos. Obviamente también vale que $\displaystyle \sum_{i=m}^{M} a(i)+b(i)=\left(\sum_{i=m}^{M} a(i)\right)+\left(\sum_{i=m}^{M} b(i)\right)$ y que $\displaystyle \sum_{i=m}^{M}Ka(i)=K\sum_{i=m}^{M}a(i)$ ($K$ es una constante). Y eso es todo lo que hay que saber. No hay ningún Teorema de sumatorias, ni nada. Es sólo una forma de sintetizar una expresión, tal como la notación de exponenciación, y de la misma manera tiene algunas propiedades de manipulación. La sumatoria no da información adicional, es sólo una forma eficiente y prolija de escribir las cosas. Colorín Colorado.

[Vladislao]

Al excelente texto que escribió Prillo le complementaría estos ejemplos para ver la practicidad de esta simbología:

[math]\displaystyle\sum_{i=1}^{10} a_i = a_1+a_2+\ldots +a_{10}

[math]\displaystyle\sum_{i=0}^{n} f(i) = f(0)+f(1)+f(2)+\ldots + f(n)

[math]\displaystyle\sum_{i=3}^{n+3} i^2 = 3^2+4^2+5^2+\ldots+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2.

Obviamente, todo lo expuesto para el símbolo de sumatoria también puede adaptarse para el símbolo del producto [math]\displaystyle\prod