Teoría 3 Nivel

[Rex]

Buenos días a todos. Soy nuevo en el foro, me registré apenas hace unos minutos. Este año me gustaría participar en las olimpiadas, y por mi edad entraría en 3° categoría. ¿Alguno sabe que contenidos teóricos se necesitan? Como dato adicional, agrego que es la primer vez que participo, la última vez que lo hice fue en 3° nivel de las ñandu. Gracias!

[Fran5]

Te dejo un apunte avanzado de @Vladislao
http://omaforos.com.ar/viewtopic.php?f=2&t=1346

Otro de @Martín Vacas Vignolo
http://omaforos.com.ar/viewtopic.php?f=2&t=542

Tambien podes chusmear aca (es mas avanzado aun)
http://omaforos.com.ar/viewtopic.php?f=2&t=1761

Fijate que las cosas copadas son
Circunferencias, Ciclicos, Induccion, Divisibilidad, Funciones, Ecuaciones (diofanticas, sistemas, etc etc), Combinatoria, Probabilidad, y muchas cosas (copadas) mas

Cualquier otra cosa, chusmea en el foro las cosas que hay

[JPablo]

De Álgebra para empezar tenés que manejar bien los sistemas de ecuaciones y saber resolver cuadráticas. Saber averiguar dos números teniendo como dato su suma y su producto (que se hace con cuadráticas), saber factorizar bien los polinomios. Cosas que vienen bien son las desigualdades. Fijate bien en: Desigualdad de Cauchy-Schwarz, Desigualdad de Schür, Desigualdad de Reordenamiento, Desigualdad de Chebyshev, Desigualdad de Medias (media cuadrática, media aritmética, media geométrica y media armónica). La idea no es conocer estas igualdades para aplicarlas, sino conocer bien sus demostraciones para irle captando la onda al tema de las desigualdades y así manejarte bien en los problemas. También saber manejar sumatorias: conocer fórmulas, desarrollar sumatorias y tener en claro el principio de inducción.

De Combinatoria tenés que saber usar factoriales, permutaciones, números combinatorios, principio del palomar, número de Catalán, y este tema http://omaforos.com.ar/viewtopic.php?f=5&t=49 . También tenés que irte acostumbrando a los juegos de "Estrategia ganadora", es decir, agarrarle el patrón para resolver ese tipo de problemas, eso lo vas a lograr pensándolos un rato y, en caso de no encontrar la solución, buscarla en el foro.

De Geometría desde ya te digo que personalmente lo mejor es saber muchas cosas (lo más que puedas), porque en muchísimas ocasiones un teorema que a lo mejor no conoce ni la abuela te puede salvar de un garrón o adelantarte varias cosas. Tenés que tener bien en claro, principalmente, Arco Capaz, cuadriláteros cíclicos, trigonometría del triángulo, semejanza, el Teorema de Thales y su recíproco, Ley del Seno, Ley del Coseno, conocer bien las propiedades del paralelogramo, el rombo y el trapecio (por ejemplo que las diagonales de un paralelogramo se bisecan, que un trapecio isósceles lo es si y sólo si sus diagonales son iguales, que un rombo es un paralelogramo, que la suma de los cuadrados de los lados de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de sus diagonales, entre muchas otras cosas). Claramente también ángulos entre paralelas, saber calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono, y todas esas cosas. También tenés teoremas como el de Ceva, el de Menelao, el de Stewart, el de Ptolomeo, el de Van Aubel, Potencia de un Punto, Teorema de la Bisectriz, Fórmula de Herón... En fin, yo te recomiendo que aprendas lo más que puedas, a mí me ha servido bastante. Te recomiendo el libro "Retorno a la Geometría" de Coxeter, lo podés descargar en este foro, acá http://www.omaforos.com.ar/viewtopic.php?f=6&t=51&p=77, pero no estudies sólo de ahí porque tampoco es el libro más completo del mundo. Buscá también en la Academia Virtual Preuniversitaria RUBIÑOS en YouTube, ahí hay varios Teoremas de Geometría, o buscá en google el Departamento de Matemática Aplicada y Estadística (DMAE).

De Teoría de Números tenés que saber trabajar bien con los números enteros. Divisibilidad, criterios, propiedades de la divisibilidad, números primos, Criba de Eratóstenes, Algoritmo de División, Sistemas de Numeración (desarrollo s-ádico), resto, propiedades del resto, aritmética modular (congruencias), saber manejar bien el M.C.D., saber obtenerlo mediante el Algoritmo de Euclides, conocer propiedades de la aritmética modular (por ejemplo lo que pasa cuando dos módulos son coprimos), Ecuaciones Diofánticas lineales de doble incógnita, ecuaciones lineales de congruencia, mínimo común múltiplo, pequeño Teorema de Fermat, Teorema Chino del Resto, Ternas Pitagóricas.

Claro que nada de esto te va a servir si no desarrollás imaginación y creatividad a la hora de resolver los problemas. Vos tratá con los problemas y cuando no te salgan, buscalos en el foro. Si no están, publicalos. Lo más importante es tener perseverancia, practicar, estudiar y fijarse en las soluciones cuando un problema no sale. De todo lo que aprendas buscá las DEMOSTRACIONES, porque leyendo y entendiendo las demostraciones vas a ir desarrollando muchas capacidades.

En fin: mucha suerte al rendir, yo también voy a rendir el Tercer Nivel este año jaja y he estado estudiando bastante. Espero que me vaya bien

[JPablo]

De Álgebra para empezar tenés que manejar bien los sistemas de ecuaciones y saber resolver cuadráticas. Saber averiguar dos números teniendo como dato su suma y su producto (que se hace con cuadráticas), saber factorizar bien los polinomios. Cosas que vienen bien son las desigualdades. Fijate bien en: Desigualdad de Cauchy-Schwarz, Desigualdad de Schür, Desigualdad de Reordenamiento, Desigualdad de Chebyshev, Desigualdad de Medias (media cuadrática, media aritmética, media geométrica y media armónica). La idea no es conocer estas igualdades para aplicarlas, sino conocer bien sus demostraciones para irle captando la onda al tema de las desigualdades y así manejarte bien en los problemas. También saber manejar sumatorias: conocer fórmulas, desarrollar sumatorias y tener en claro el principio de inducción.

De Combinatoria tenés que saber usar factoriales, permutaciones, números combinatorios, principio del palomar, número de Catalán, y este tema http://omaforos.com.ar/viewtopic.php?f=5&t=49 . También tenés que irte acostumbrando a los juegos de "Estrategia ganadora", es decir, agarrarle el patrón para resolver ese tipo de problemas, eso lo vas a lograr pensándolos un rato y, en caso de no encontrar la solución, buscarla en el foro.

De Geometría desde ya te digo que personalmente lo mejor es saber muchas cosas (lo más que puedas), porque en muchísimas ocasiones un teorema que a lo mejor no conoce ni la abuela te puede salvar de un garrón o adelantarte varias cosas. Tenés que tener bien en claro, principalmente, Arco Capaz, cuadriláteros cíclicos, trigonometría del triángulo, semejanza, el Teorema de Thales y su recíproco, Ley del Seno, Ley del Coseno, conocer bien las propiedades del paralelogramo, el rombo y el trapecio (por ejemplo que las diagonales de un paralelogramo se bisecan, que un trapecio isósceles lo es si y sólo si sus diagonales son iguales, que un rombo es un paralelogramo, que la suma de los cuadrados de los lados de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de sus diagonales, entre muchas otras cosas). Claramente también ángulos entre paralelas, saber calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono, y todas esas cosas. También tenés teoremas como el de Ceva, el de Menelao, el de Stewart, el de Ptolomeo, el de Van Aubel, Potencia de un Punto, Teorema de la Bisectriz, Fórmula de Herón... En fin, yo te recomiendo que aprendas lo más que puedas, a mí me ha servido bastante. Te recomiendo el libro "Retorno a la Geometría" de Coxeter, lo podés descargar en este foro, acá http://www.omaforos.com.ar/viewtopic.php?f=6&t=51&p=77, pero no estudies sólo de ahí porque tampoco es el libro más completo del mundo. Buscá también en la Academia Virtual Preuniversitaria RUBIÑOS en YouTube, ahí hay varios Teoremas de Geometría, o buscá en google el Departamento de Matemática Aplicada y Estadística (DMAE).

De Teoría de Números tenés que saber trabajar bien con los números enteros. Divisibilidad, criterios, propiedades de la divisibilidad, números primos, Criba de Eratóstenes, Algoritmo de División, Sistemas de Numeración (desarrollo s-ádico), resto, propiedades del resto, aritmética modular (congruencias), saber manejar bien el M.C.D., saber obtenerlo mediante el Algoritmo de Euclides, conocer propiedades de la aritmética modular (por ejemplo lo que pasa cuando dos módulos son coprimos), Ecuaciones Diofánticas lineales de doble incógnita, ecuaciones lineales de congruencia, mínimo común múltiplo, pequeño Teorema de Fermat, Teorema Chino del Resto, Ternas Pitagóricas.

Claro que nada de esto te va a servir si no desarrollás imaginación y creatividad a la hora de resolver los problemas. Vos tratá con los problemas y cuando no te salgan, buscalos en el foro. Si no están, publicalos. Lo más importante es tener perseverancia, practicar, estudiar y fijarse en las soluciones cuando un problema no sale. De todo lo que aprendas buscá las DEMOSTRACIONES, porque leyendo y entendiendo las demostraciones vas a ir desarrollando muchas capacidades.

En fin: mucha suerte al rendir, yo también voy a rendir el Tercer Nivel este año jaja y he estado estudiando bastante. Espero que me vaya bien

No me malinterpretes: no estoy diciendo que todo esto sea crucial y esencial para rendir, estoy diciendo que son recursos poderosos que te van a ahorrar varios quebraderos de cabeza. Por lo general los problemas de OMA están hechos para poder ser resueltos con conocimientos elementales, justamente la idea de las olimpíadas es manejarse con lo que uno sabe para poder resolver los problemas, por lo tanto no te van a poner un problema que tenga contenido teórico.

Ahora bien, fijate en el problema Regional 2006 N2 P3. Decime si no es sumamente útil usar el Teorema de Ceva en ese problema, aún cuando no es un Teorema que haya que NECESARIAMENTE saber. Puede resolverse con métodos que conzocan todos, pero con Teorema de Ceva es bastante rápido.

Sino fijate en este, http://www.omaforos.com.ar/viewtopic.ph ... 308&p=6009 . Tenés una solución que usa puros métodos conocidos (salvo la propiedad de la mediana de un triángulo rectángulo, la cual, si bien podés no conocerla, es bastante intuitiva: basta con circunscribir una circunferencia al triángulo y notar que la mediana es radio de la circunferencia, al igual que los segmentos en que divide a la hipotenusa, por lo tanto son iguales). Y por otro lado tenés otra solución, más directa, que requiere menos quebradero de cabeza, pero conocimiento teórico, pues usa bastantes teoremas. A ESE TIPO de cosas me refiero con que ESTÁ BUENO tener esos conocimientos, pero no son esenciales, así que no te asustes al leer toda esa aglomeración de temas que te expuse.

Sino tomá como ejemplo este problema (ya es un Regional de Nivel 3, o sea es algo que debe interesarte seguramente): http://www.omaforos.com.ar/viewtopic.php?f=11&t=2405 fijate que en la solución yo usé sumatoria, desarrollo de sumatoria y aritmética modular, que no son cosas cruciales, como ya te dije... Sin embargo después se me ocurrió una solución usando métodos elementales. Bueno... Usé el algoritmo de división, pero al igual que la propiedad de la mediana de un triángulo rectángulo, es algo bastante intuitivo. Sin embargo, yo, que tuve la idea de ambas soluciones, te digo que se me hizo mucho más fácil y rápido la primera, en la que usé el contenido teórico.

Acá tenés otros ejemplos como los que te acabo de exponer:

http://www.omaforos.com.ar/viewtopic.ph ... 997&p=7331

http://www.omaforos.com.ar/viewtopic.ph ... 314&p=8659

http://www.omaforos.com.ar/viewtopic.ph ... 271&p=8545

http://www.omaforos.com.ar/viewtopic.php?f=16&t=2119 (este ejemplo en particular me gusta bastante... Fijate cómo hay muchas formas de resolverlo, y cómo sabiendo el Número de Catalán es sumamente directo, usando una simple fórmula te tira el resultado...)

Todo esto te lo digo para que no te preocupes y pienses que tenés que estudiar a lo loco... En especial porque me sentí culpable al haberte tirado tantos temas inescrupulosamente jajajaja.

[Rex]

Jajajajaj, no importa, de algo me va a servir, puesto que al intentar hacer los problemas de regional y nacional no sabía que hacer, me di cuenta que me falta mucho contenido. Gracias por la respuesta! Una pregunta.. Ya participaste otros años? Hace cuanto venis estudiando?

[JPablo]

Jajajajaj, no importa, de algo me va a servir, puesto que al intentar hacer los problemas de regional y nacional no sabía que hacer, me di cuenta que me falta mucho contenido. Gracias por la respuesta! Una pregunta.. Ya participaste otros años? Hace cuanto venis estudiando?

Pues yo entré en el primer año del segundo nivel por primera vez, y desde entonces he estudiado... Y empecé a estudiar desde el segundo año del segundo nivel. Es decir, vengo estudiando hace dos años. No cometas el error pelotudo que cometí yo, de meterme a las olimpíadas e impresionarme tanto de la complejidad de los problemas al punto de abandonar... Llegó un momento en que dije "no, esto no es para mí" y pensé en dedicarme a la Historia (si habré estado mal jajajajajajaja). Es cuestión de tener perseverancia porque ciertamente estos problemas son muy distintos a los que uno está acostumbrado, ya que no son problemas para un contenido teórico específico y rutinarios como suelen ser a los que uno está acostumbrado. Acá lo que se hace es ver cómo el estudiante se las arregla con los contenidos que posee. Hay que usar la imaginación y ser creativo, puesto que los problemas a los que uno está acostumbrado, generalmente por la escuela, no dejan espacio a la imaginación ni a la creatividad, pues al alumno se lo acostumbra a un estereotipo de problemas y está acostumbrado a, ni bien leer el enunciado, conocer todos los pasos de resolución. Esto no es muy común en estos problemas, donde primero tenés que familiarizarte con él, conocerle las mañas, etc.

Yo en Ñandú no participé nunca, pero lo que hice fue empezar con esos problemas. Empecé por lo fácil y así fui metiéndome más a lo que me correspondía por edad. Vos me llevás ventaja a mí porque participaste en Ñandú, entonces vas a poder hacerlo más rápido que yo.

En fin, te deseo éxitos, que tengas mucha perseverancia y persigas esto que es algo bastante lindo. Voy a usar una frase no del todo adecuada, pero bien argentina: poné huevos hermano, y que tengas muchísima suerte. Te deseo todo lo mejor, y feliz aprendizaje! Un abrazo