Matando mosquitos con bombas nucleares...

[Violeta]

No sé dode poner esto; lo puse en teoría porque no es realmente un problema.

En las matemáticas existen teoremas poderosísimos, pero también existen cosas relativamente simples de resolver... ¿Y qué si usamos una bomba nuclear, como el Último Teorema de Fermat, para atacar un mosquito, como los irracionales?

Se me vienen dos ejemplos:

a) Probar que todas [math]n-ésima raíz de 2 siempre es irracional ([math]n entero mayor que 2).

Demostración: Probaremos por contradicción, asumos que es racional, [math]a y [math]b enteros.

[math]\sqrt[n]{2} = \frac{a}{b}

[math]2 = \frac{a^n}{b^n}

[math]2b^n = a^n \Rightarrow b^n + b^n =a^n

Pero, el Último Teorema de Fermat nos dice que eso no tiene soluciones enteras y estamos.

b) Probar que hay infinitamente muchos primos.

Demostración: Asumamos que hay [math]n primos. El Teorema de Green-Tao nos dice que para todo [math]k arbitrariamente grande, existen [math]k primos en sucesión aritmética. Entonces, si escogemos un [math]k>n, Green-Tao nos dice que hay al menos [math]k primos en sucesión aritmética, pero esto contradice lo que dijimos al principio, que hay [math]n primos. Por ende, hay infinitamente muchos primos.

¿Se les ocurre otros?

[jujumas]

Hay varios problemas no muy complejos de teoría de números que salen de una con la conjetura de catalán (también conocido como Teorema de Mihailescu). Aca hay varios links:

http://www.omaforos.com.ar/viewtopic.ph ... A1n#p14159
http://www.omaforos.com.ar/viewtopic.ph ... A1n#p12090
http://www.omaforos.com.ar/viewtopic.ph ... %A1n#p6166

[Peznerd]

Yo soy más fan de matar ballenas con alfileres.
Me impresiona cómo problemas chungos salen con algo que parece tan tonto como lo es el Principio del Palomar

[Fran5]

Yo soy más fan de matar ballenas con alfileres.
Me impresiona cómo problemas chungos salen con algo que parece tan tonto como lo es el Principio del Palomar

Palomar (y otras ideas que parecen tontas) no son "débiles" como para que los compares con un alfiler. Son cosas "elegantes" y podrías compararlo con un sable o florete.

Inclusive existen centenares de teoremas y resultados importantísimos en las matemáticas que usan Palomar y otras herramientas "olímpicas"

[lichafilloy]

Si alguien quiere seguir matando problemas de teoría de números con "heavy machinery":
teorema de Dirichlet: https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_d ... C3%A9ticas
teorema de Zsigmondy: https://en.wikipedia.org/wiki/Zsigmondy%27s_theorem