Uno para ñandú - Perímetro y circunferencias

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Martín Vacas Vignolo
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Registrado: Mié 15 Dic, 2010 6:57 pm
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Uno para ñandú - Perímetro y circunferencias

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo »

Un grupo de grillos tiene que llegar saltando desde el punto [math] hasta el punto [math]. Todos los grillos salen al mismo tiempo desde [math] y la distancia entre [math] y [math] es de [math] cm.
Cada salto de un grillo describe una semicircunferencia donde el origen y la llegada del salto forman un diámetro de ella. (Por ejemplo, si un grillo tiene que ir de un punto a otro que está a [math] cm de distancia, su salto describirá una semicircunferencia de radio [math] cm).
En este problema suponemos que todos los grillos van a velocidad constante de [math] centrímetros por segundo (en el ejemplo anterior, el grillo tardaría [math] segundo en hacer ese salto, pues recorrió [math] centrímetros en su trayectoria).

Determinar qué grillo llega primero a [math] si:

a) Hay [math] grillos. El primero hace [math] salto y el segundo hace [math] saltos.
b) Hay [math] grillos. El primero hace [math] salto, el segundo hace [math] saltos, el tercero hace [math] saltos y así siguiendo.

Aclaración: los saltos de cada grillo no necesariamente tienen que ser iguales.
[math]

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Martín Vacas Vignolo
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Re: Uno para ñandú - Perímetro y circunferencias

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo »

Dejo la solución, que no es para nada intuitiva si hacemos un dibujito!
Spoiler: mostrar
En ambos casos, todos los grillos llegan al mismo tiempo. Para ver esto, como van todos a la misma velocidad, probaremos que las distancias que recorren todos son las mismas, entonces tardarán el mismo tiempo.

Veamos el caso en que hay [math] grillos para entender la idea:

Lo que queremos probar es que la trayectoria azul mide lo mismo que la trayectoria roja:
grillos-2.png
El primer grillo describe una semicircunferencia de diámetro [math]cm, entonces recorre [math] cm, o sea que tarda [math] segundos en llegar.

Ahora, para el segundo grillo, supongamos que el primer salto describe una semicircunferencia de diámetro [math]cm (ponemos [math] para simplificar las cuentas). Entonces en ese salto recorre [math] cm. El siguiente salto debe tener la longitud que queda para llegar a [math], es decir va a describir una semicircunferencia de diámetro [math] cm, por lo tanto en el segundo salto va a recorrer [math] cm. Sumando ambas semicircunferencias, obtenemos [math] cm, lo mismo que el primer grillo; entonces los dos llegan al mismo tiempo.

Para el caso en que hay [math] grillos: ya sabemos que el primero y el segundo llegan al mismo tiempo, porque lo vimos antes!. Ahora hagamos la cuenta para el tercer grillo, que hace tres saltos:

Supongamos que los diámetros de las semicircunferencias que describen los saltos del tercer grillo son:
Para el primer salto: [math]
Para el segundo salto: [math]
Para el tercer salto: [math]

Entonces sabemos que [math], luego [math]

Ahora calculemos el perímetro de las semicircunferencias:

[math], porque dijimos que [math].

Entonces el tercer grillo también tarda [math] segundos! (notar que no importa cuánto valgan [math], [math] y [math], siempre va a pasar esto)

Ahora habría que hacer lo mismo para los restantes grillos, pero se ve fácil que en realidad no importa para qué grillo hagamos la cuenta, siempre se van a simplificar y va a dar los [math] de siempre.
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[math]

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