Regional Ñandú - 2019 - Nivel 1 - Problema 3

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Monazo

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Regional Ñandú - 2019 - Nivel 1 - Problema 3

Mensaje sin leer por Monazo » Mié 04 Sep, 2019 7:47 pm

Cinco personas, Aldo, Bruno, Carla, Dani y Edu, van al cine y se sientas en una fila vacía que tiene asientos numerados del $1$ al $7$. Aldo y Bruno eligen asientos impares y Carla se sienta al lado de Aldo.
¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse las cinco personas?
Explica cómo lo contaste.

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Monazo

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Re: Regional Ñandú - 2019 - Nivel 1 - Problema 3

Mensaje sin leer por Monazo » Jue 05 Sep, 2019 10:44 pm

Resolución del problema
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En un principio, plantearemos el siguiente subproblema, que nos ayudará para resolver todo el problema luego.
"Dados $4$ asientos y $2$ personas, de cuántas maneras de pueden sentar."

Este subproblema es más sencillo que el problema inicial y podemos ver todos los casos posibles de manera muy rápida y sencilla. Siendo $A$ la primera persona, $B$ la segunda persona y '_' asiento vacío obtenemos las siguientes combinaciones:
$A B _ _$ - $A _ B _$ - $A _ _ B$ - $B A _ _ $ - $_ A B _$ - $_ A _ B$ - $B _ A _ $ - $_ B A _$ - $_ _ A B$ - $B _ _ A$ - $_ B _ A$ - $_ _ B A$
Notemos que en total son $12$ combinaciones.

Ahora volviendo al problema, vamos a dividir el problemas en varios casos. Teniendo en cuenta que $Aldo$ y $Bruno$ se sientan en asientos impares y $Carla$ se sienta al lado de $Aldo$, para ellos $3$ tenemos las siguientes combinaciones.
A partir de ahora $A$=Aldo, $B$=Bruno $C$=Carla.

Combinaciones posibles

1) $A C B _ _ _ _$
2) $A C _ _ B _ _$
3) $A C _ _ _ _ B$
4) $B C A _ _ _ _$
5) $B _ A C _ _ _$
6) $_ C A _ B _ _$
7) $_ _ A C B _ _$
8) $_ C A _ _ _ B$
9) $_ _ A C _ _ B$
10) $B _ _ C A _ _$
11) $B _ _ _ A C _$
12) $_ _ B C A _ _$
13) $_ _ B _ A C _$
14) $_ _ _ C A _ B$
15) $_ _ _ _ A C B$
16) $B _ _ _ _ C A$
17) $_ _ B _ _ C A$
18) $_ _ _ _ B C A$

Finalmente, notemos que nos sobran $4$ asientos en cada combinación y quedan aun por sentar $2$ personas, que son $Dani$ y $Edu$. Pero nos encontramos en la misma situación que nos planteaba el subproblema al principio, el cual ya resolvimos, y dedujimos que eran $12$ combinaciones.
Finalmente, dado que para cada combinación de $Aldo$, $Bruno$ y $Carla$ existen $12$ combinaciones para $Dani$ y $Edu$, la cantidad total de combinaciones es:

Resultado=$18\times 12=216$

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