Maratón de Problemas

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Emerson Soriano

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Emerson Soriano »

Sí cumple. Para mayor garantía, se puede comprobar en el geogebra.
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jhn

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn »

Tienes razón, es que yo había trazado [math] en vez de [math].
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.
jujumas

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jujumas »

Dejo pasos triviales picando porque sinó se hace larguísima.

Solución 271:
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Llamemos [math] y [math] a las alturas de [math] correspondientes e [math] al incentro del triángulo. Por el lema de segmentos perpendiculares, basta demostrar que [math].

Usando que una bisectriz interior y una exterior son perpendiculares y pitágoras, tenemos que el lado derecho de esta igualdad es igual a:

[math]
.

Usando el teorema del coseno en [math] y [math] tenemos que el lado izquierdo es igual a:

[math]
, donde [math] es el circunradio de [math].

Cancelando en la igualdad, y usando que [math] y [math], tenemos que lo que hay que demostrar es equivalente a:

[math]
.

Llamemos [math] al punto de contacto del incírculo de [math] con [math]. Usando el lema de incentro y pitágoras, quedemos ver entonces que

[math]
.

Llamemos ahora [math] al seno del ángulo [math]. Reescribiendo [math] como [math] por el teorema del seno, tenemos que demostrar que:

[math]
.

Usando ahora que [math], (por puntos de tangencia de incírculo), tenememos que el lado derecho de la igualdad es por diferencia de cuadrados igual a [math], que es igual a [math], y estamos.
jujumas

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jujumas »

Voy con uno lindo:

Problema 272:
Se tiene marcada una región (no necesariamente convexa) de área mayor al entero positivo [math]. Demostrar que la región se puede trasladar (sin rotar) de modo que cubra a [math] puntos de coordenadas enteras.
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MateoCV

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por MateoCV »

jhn escribió:Solución del 268
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Sean [math], [math]. Entonces [math]
Spoiler: mostrar
Eso es mentira. [math]
$2^{82589933}-1$ es primo
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jhn

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn »

Es verdad, faltaba un factor 2. Ya lo edité y puse una nota explicando de dónde salen [math], [math].
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jhn

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn »

Solución al 272
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Sea [math] la región, con área [math]. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que [math] es acotada, pues si no se puede tomar un cuadrado suficientemente grande de modo que su intersección con [math] siga teniendo área mayor que [math]. Digamos entonces que [math] está contenida en el rectángulo con vértices de coordenadas enteras [math], [math], [math], [math]. Consideremos las traslaciones [math] de vector [math], para [math]. Lss trasladadas [math] están contenidas dentro del rectángulo [math] con vértices [math], [math], [math], [math], que tiene área [math]. Si ningín punto de [math] pertenece a más de [math] trasladadas, entonces la suma de las áreas de éstas sería a lo sumo [math] veces el área de [math], es decir que [math], y por lo tanto
[math]

Pero haciendo tender [math] a [math] la fracción del miembro izquierdo tiende a 1, y se llegaría a que [math], absurdo. Por lo tanto algún punto [math] pertenece al menos a [math] trasladadas de [math] por vectores de componentes enteras [math], [math],..., [math], es decir que esisten puntos [math], [math],...,[math] en [math] tales que [math]. Sea ahora [math] el vector de origen [math] y extremo en el origen. La traslación [math] de vector [math] lleva cada punto [math] a un punto [math] que tiene coordenadas enteras. Es decir que [math] contiene al menos [math] puntos de coordenadas enteras.
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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn »

Problema 273 Sea [math] una función tal que
[math]

para todos los reales [math], [math]. Sabiendo que [math], halle el valor de [math].
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MateoCV

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por MateoCV »

Solución 273
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Cuando [math] tenemos que [math] si [math] entonces [math] para todo [math], pero es imposible ya que [math]. Luego [math]
Cuando [math] tenemos que [math]. Luego [math]
Restando [math] del lado izquierdo y [math] del lado derecho de la ecuación original resulta que [math] (1)
Cuando [math] en la igualdad anterior tenemos que [math] y con [math] tenemos que [math] y resulta que [math]
Reemplazando en (1) [math] tenemos que [math] y luego [math]
$2^{82589933}-1$ es primo
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MateoCV

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por MateoCV »

Problema 274
Sobre una mesa cuadrada de lado [math], Emiliano y Gonzalo juegan al siguiente juego. Por turnos, colocan monedas de diámetro [math] en la mesa de forma que estas no se superpongan con monedas ya colocadas ni se salgan de la mesa. La primera persona que en su turno no puede jugar pierde. Emiliano empieza el juego. Determinar quién tiene una estrategia que le asegure la victoria
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