EGMO 2025 P4

[marcoalonzo]

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\neq AC$. Sea $I$ su incentro. Las rectas $BI$ y $CI$ intersecan a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $P\neq B$ y en $Q\neq C$ respectivamente. Se toman puntos $R$ y $S$ tales que $AQRB$ y $ACSP$ son paralelogramos (con $AQ\parallel RB$, $AB\parallel QR$, $AC\parallel SP$, y $AP\parallel CS$). Sea $T$ el punto de intersección de las rectas $RB$ y $SC$. Demuestre que los puntos $R$, $S$, $T$ e $I$ están sobre una misma circunferencia.

[Gianni De Rico]

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Supongamos sin pérdida de generalidad que $AB<AC$ (porque así hice yo el dibujo) y pongamos $\angle CBA=2\beta$ y $\angle ACB=2\gamma$ (entonces $\beta >\gamma$).
Tenemos que$$\angle TBA=\angle QAB=\angle QCB=\gamma$$y $\angle CBI=\beta$, con lo que$$\angle IBT=\beta -\gamma .$$De la misma manera tenemos que $\angle ICT=\beta -\gamma$. Esto nos dice que$$\angle RBI=180^\circ -(\beta -\gamma )=\angle SCI.$$Por otro lado, tenemos que $RB=QA=QI$, que $SC=PA=PI$ (por los paralelogramos y por ser puntos medios de arco) y que $BIC\simeq QIP$ (por ser $BCPQ$ cíclico). Entonces$$\frac{RB}{SC}=\frac{QI}{PI}=\frac{BI}{CI}.$$Se sigue que $RBI\simeq SCI$, con lo que son rotohomotéticos de centro $I$, que implica lo pedido al ser $T=RB\cap SC$.

PD: Ya hice todos los angulitos necesarios como para que completen la solución por su cuenta si no les queda clara la parte de la rotohomotecia.

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