EGMO 2025 P6

[marcoalonzo]

En cada casilla de un tablero de tamaño $2025\times2025$, se escribe un número real no negativo de manera que la suma de los números en cada una de sus filas es $1$, y la suma de los números en cada una de sus columnas es $1$. Para cada $i$, denotamos por $r_i$ al mayor de los números de las casillas de la fila $i$, y por $c_i$ al mayor de los números de las casillas de la columna $i$. Sean $R=r_1+r_2+\cdots+r_{2025}$ y $C=c_1+c_2+\cdots+c_{2025}$. ¿Cuál es el mayor valor posible de $\frac{R}{C}$?

[El Mito Ruggeri]

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Digamos que el máximo valor de R es M, y el mínimo valor de C es N, si a cada una de estas variables le asignamos esos valores tenemos que R/C=M/N, ahora si R es distinto de M y C es distinto de N tenemos que R/C=(M-a)/(N+b), con a y b nros. reales positivos o a=0 y b un real positivo o b=0 y a un real positivo, a su vez es trivial el hecho de que:
(M-a)/(N+b)<M/N, por lo tanto el máximo valor de R/C surge a partir del máximo de R (M) y el mínimo de C (N).
1ro analizemos M, por desigualdad de medias sabemos que la media cuadratica √([r1²+r2²+...+r2025²]÷2025) es mayor o igual que la media aritmetica (r1+r2+...+r2025)÷2025, por lo tanto r1+r2+...+r2025=R es menor o igual que 2025×√([r1²+r2²+...+r2025²]÷2025), como buscamos que R=M entonces R=M=2025×√([r1²+r2²+...+r2025²]÷2025) y por desigualdad de medias se cumple que r1=r2=...=r2025, por lo tanto M=2025×√([2025×r1²]÷2025)=2025×√r1²=2025×r1, ahora como en el tablero no podemos utilizar nros. reales negativos, r1 es menor o igual que 1, y como buacamos el máximo valor posible planteamos r1=1=>M=2025×1=2025.
Ahora nos queda calcular N, para el cual utilizaremos la siguiente propiedad:
*Sea K una media igual a su mínimo, entonces K es igual a su máximo.
La cual también es una consecuencia de la desigualdad de medias. Ahora, fijense que para calcular el máximo valor de C se tiene que hacer el mismo planteo que hicimos con M, y nos quedará que este valor es igual a 2025, pueden verificarlo por cuenta propia, por lo tanto N=2025, lo que implica que el máximo R/C=M/N=2025/2025=1.
Un ej. en el cual se cumple esto es si en el tablero a cada casilla que comprende una diagonal del mismo se le asigna un 1 y a las casillas restantes le asignamos 0, finalizando el problema.