1er Selectivo Conosur Uruguay 2025 - P2

[Ostia chavalin]

Consideramos un cuadrado de lado $1$ que tiene un punto en cada vértice y $23$ puntos en su interior. Entre los $27$ puntos no hay $3$ alineados. Demostrar que, entre los $27$ puntos, existen tres, $X, Y, Z,$ distintos tales que el área del triángulo $XYZ\leq \frac{1}{48}$.

[Emerson Soriano]

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Lema.

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Si en un polígono convexo marco sus vértices y $n$ puntos en su interior de tal manera que entre los puntos marcados no haya tres colineales, entonces podemos triangular el polígono, es deicr, podemos unir los vértices de tal manera que el polígono quede dividido perfectamente en triángulos.

Prueba

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Procederemos por inducción sobre $n$. Si $n=1$, es sencillo ya que unimos ese punto interior con cada vértice del polígono convexo.

Supongamos que es posible logra la triangulación para cualesquiera $n$ puntos en el interior, de manera que entre todos los puntos interioreres y los vértices del polígono no haya tres colineales.

Ahora, marquemos cualesquiera $n+1$ puntos en el interior, con las condiciones que mencionamos. Sea $P$ uno de tales puntos. Con los $n$ puntos interiores restantes y los vértices del polígono podemos formar una triangulación. Como no hay tres puntos colineales, entonces $P$ está en el interior de uno de tales triángulos, luego, unimos $P$ con cada vértice de ese triángulo y así hemos logrado la triangulación.

Con respecto al problema, como el cuadrado es convexo, por el Lema sabemos que se puede lograr una triangulación, y sea $T$ el número de triángulos. Sumando los ángulos interiores de cada triángulo tenemos $180^{\circ}T$, luego, como cada vértice interior aporta $360^{\circ}$ grados en la suma de ángulos y cada vértice del cuadrado aporta $90^{\circ}$ grados, entonces
$$180^{\circ}T=23\cdot 360^{\circ}+4\cdot 90^{\circ} \hspace{0.52cm}\Rightarrow\hspace{0.52cm} T=48.$$
Finalmente, como los $48$ trángulos cubren el cuadrado de área $1$, entonces la suma de las áreas de los $48$ trángulos es $1$, luego, por el principio de las casillas concluimos que existe un triángulo cuya área es menor o igual a $1/48$.