Maratón de Problemas

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MateoCV

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por MateoCV » Mié 01 Feb, 2017 6:55 pm

Estás seguro que es así? Porque en algunos casos queda [math] y [math] no estaría definido
$2^{77232917}-1$ es primo

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jhn
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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn » Mié 01 Feb, 2017 7:52 pm

Para cualquier [math] real se define
[math]

En particular si [math] es entero y [math] entonces [math].

O si prefieres, toma la segunda suma desde 0 hasta [math], es lo mismo.
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.
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Julian_Ferres

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Julian_Ferres » Mar 07 Feb, 2017 6:13 pm

Un intento sin completar:
Spoiler: mostrar
Las demostraciones elementales de este tipo de identidades, suelen usar Double-Counting.
Para el lado derecho:
Consideremos dos conjuntos disjuntos [math] y [math] tales que [math]. Consideraremos ternas [math] tales que [math] e [math], con [math].
Para encontrar [math], consideramos los subconjuntos de [math] tales que [math].
Sea [math]. Tenemos que los pares [math] pueden ser elegidos de [math] formas y [math] por su parte de [math] formas.
Sumando para todo [math], obtenemos: [math].

Habría que expresar el lado izquierdo en función de contar primero [math], y luego las parejas [math]
Última edición por Julian_Ferres el Dom 12 Feb, 2017 9:01 pm, editado 1 vez en total.

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jhn
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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn » Mié 08 Feb, 2017 7:27 am

Vas bien.
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.
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Julian_Ferres

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Julian_Ferres » Vie 17 Feb, 2017 4:59 pm

Solución problema 252:
Spoiler: mostrar
Usando Double-Counting.
Para el lado derecho:
Consideremos dos conjuntos disjuntos [math] y [math] tales que [math]. Consideraremos ternas [math] tales que [math] e [math], con [math].
Para encontrar [math], consideramos los subconjuntos de [math] tales que [math].
Sea [math]. Tenemos que los pares [math] pueden ser elegidos de [math] formas y [math] por su parte de [math] formas.
Sumando para todo [math], obtenemos: [math].

Para el lado izquierdo:

Sea [math] y [math], es sabido que [math]

Luego tenemos que hay [math] de elegir a [math], ahora veamos cuantas parejas de conjuntos [math] para cada [math].

Sea [math] y [math] con [math]
Sabiendo esto: [math], entonces [math] para un [math] constante (es facil probar que es mayor o igual a [math]).

Para [math] ya se han elegido [math] elementos, luego para los que quedan hay [math]

Analogamente para [math], tenemos [math] formas.

Luego para cada [math] hay [math] formas de armar [math]

Luego solo resta probar que: [math]

Para eso vamos a usar que [math] es igual al coeficiente constante de [math], pero esta ultima expresion es equivalente a [math], y notemos que el coeficiente buscado es igual al de [math] en [math], que por Binomio de Newton es [math]

Finalmente:
[math]


Y termina el problema.

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Julian_Ferres

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Julian_Ferres » Vie 17 Feb, 2017 5:05 pm

Problema 253:

Sean [math] reales mayores a [math] tales que [math], hallar el máximo valor de [math] .

tuvie

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por tuvie » Vie 17 Feb, 2017 5:19 pm

Solucion al Problema 253
Spoiler: mostrar
Por Cauchy Schwarz, tenemos que [math]
Por AM-GM, [math]
Entonces juntando esas dos desigualdades obtenemos que el maximo de la expresion es [math]. Ademas, notemos que cuando [math] se da la igualdad.

tuvie

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por tuvie » Vie 17 Feb, 2017 5:22 pm

Problema 254

Sean [math], [math] y [math] reales positivos tales que [math]. Probar que [math]

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Emerson Soriano

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Vie 17 Feb, 2017 7:24 pm

Solución al Problema 254.
Spoiler: mostrar
Notemos que,
[math].
Aplicando la desigualdad de Hölder, tenemos
[math]
Pero,
[math]
Por lo tanto, en [math] se tiene que
[math]
Pero el equivalente de la expresión de arriba, es
[math]
Luego,
[math]
Usando [math] llegamos a la siguiente desigualdad:
[math]
que es a donde queríamos llegar.

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Emerson Soriano

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Vie 17 Feb, 2017 7:51 pm

Problema 255.
Hay [math] números enteros escritos en una pizarra. Un movimiento consiste en elegir tres números de la pizarra [math], [math], [math], que representen las longitudes de los lados de un triángulo no degenerado y no equilátero, y reemplazar esa terna de números por
[math]
Demostrar que la cantidad de movimientos que se pueden realizar es finita.

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