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Maratón de Problemas

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Re: Maratón de Problemas

UNREAD_POSTpor MateoCV » Mié 01 Feb, 2017 6:55 pm

Estás seguro que es así? Porque en algunos casos queda $2i<n$ y $\binom{2i}{n}$ no estaría definido
$2^{74207281}-1$ es primo
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Re: Maratón de Problemas

UNREAD_POSTpor jhn » Mié 01 Feb, 2017 7:52 pm

Para cualquier $x$ real se define


$$\binom{x}{n}=\frac{x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)}{n!}.$$



En particular si $k$ es entero y $0\leq k<n$ entonces $\binom{k}{n}=0$.

O si prefieres, toma la segunda suma desde 0 hasta $\lfloor n/2\rfloor$, es lo mismo.
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.
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Re: Maratón de Problemas

UNREAD_POSTpor Julian_Ferres » Mar 07 Feb, 2017 6:13 pm

Un intento sin completar:
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Las demostraciones elementales de este tipo de identidades, suelen usar Double-Counting.
Para el lado derecho:
Consideremos dos conjuntos disjuntos $A$ y $B$ tales que $|A|=|B|=n$. Consideraremos ternas $(X,Y,Z)$ tales que $X \subseteq A$ e $Y \subseteq B$, con $|X| = |Y|$.
Para encontrar $Z$, consideramos los subconjuntos de $X \cup Y$ tales que $|Z|=n$.
Sea $|X| = |Y|= i$. Tenemos que los pares $(X,Y)$ pueden ser elegidos de $\binom{n}{i}^2$ formas y $Z$ por su parte de $\binom{2i}{n}$ formas.
Sumando para todo $i$, obtenemos: $|(X,Y,Z)|= \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}^2 \binom{2i}{n}$.

Habría que expresar el lado izquierdo en función de contar primero $Z$, y luego las parejas $(X,Y)$
Última edición por Julian_Ferres el Dom 12 Feb, 2017 9:01 pm, editado 1 vez en total
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Re: Maratón de Problemas

UNREAD_POSTpor jhn » Mié 08 Feb, 2017 7:27 am

Vas bien.
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Re: Maratón de Problemas

UNREAD_POSTpor Julian_Ferres » Vie 17 Feb, 2017 4:59 pm

Solución problema 252:
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Usando Double-Counting.
Para el lado derecho:
Consideremos dos conjuntos disjuntos $A$ y $B$ tales que $|A|=|B|=n$. Consideraremos ternas $(X,Y,Z)$ tales que $X \subseteq A$ e $Y \subseteq B$, con $|X| = |Y|$.
Para encontrar $Z$, consideramos los subconjuntos de $X \cup Y$ tales que $|Z|=n$.
Sea $|X| = |Y|= i$. Tenemos que los pares $(X,Y)$ pueden ser elegidos de $\binom{n}{i}^2$ formas y $Z$ por su parte de $\binom{2i}{n}$ formas.
Sumando para todo $i$, obtenemos: $|(X,Y,Z)|= \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}^2 \binom{2i}{n}$.

Para el lado izquierdo:

Sea $|Z \cap X|= p$ y $|Z \cap Y|=q$, es sabido que $p+q=n$

Luego tenemos que hay $\sum_{p+q=n} \binom{n}{p} \binom{n}{q}$ de elegir a $Z$, ahora veamos cuantas parejas de conjuntos $(X,Y)$ para cada $Z$.

Sea $|X|=p+\alpha$ y $|Y|=q+\beta$ con $\alpha , \beta \geq 0$
Sabiendo esto: $p+\alpha=|X|=|Y|=q+\beta$, entonces $p-\beta=q-\alpha=k$ para un $k$ constante (es facil probar que es mayor o igual a $0$).

Para $X$ ya se han elegido $p$ elementos, luego para los que quedan hay $\binom{n-p}{\alpha}=\binom{q}{\alpha}=\binom{q}{q-\alpha}=\binom{q}{k}$

Analogamente para $Y$, tenemos $\binom{n-q}{\beta}=\binom{p}{\beta}=\binom{p}{p-\beta}=\binom{p}{k}$ formas.

Luego para cada $Z$ hay $\sum_{k \geq 0} \binom{p}{k} \binom{q}{k}$ formas de armar $(X,Y)$

Luego solo resta probar que: $\sum_{p+q=n} \left [ \binom{n}{p} \binom{n}{q} \sum_{k \geq 0} \binom{p}{k} \binom{q}{k} \right ]= \sum_{p=0}^{n} \binom{n}{p}^3$

Para eso vamos a usar que $\sum_{k \geq 0} \binom{p}{k} \binom{q}{k}$ es igual al coeficiente constante de $(1+x)^p(1+\frac{1}{x})^q$, pero esta ultima expresion es equivalente a $\frac{(1+x)^{p+q}}{n^q}$, y notemos que el coeficiente buscado es igual al de $x^q$ en $(1+x)^{p+q}$, que por Binomio de Newton es $\binom{p+q}{q}=\binom{n}{q}=\binom{n}{n-p}=\binom{n}{p}$

Finalmente:


$$\sum_{p+q=n} \left [ \binom{n}{p} \binom{n}{q} \sum_{k \geq 0} \binom{p}{k} \binom{q}{k} \right ]= \sum_{p+q=n} \binom{n}{p} \binom{n}{q} \binom{n}{p}=\sum_{p=0}^{n} \binom{n}{p} \binom{n}{n-p} \binom{n}{p}=\sum_{p=0}^{n} \binom{n}{p} \binom{n}{p} \binom{n}{p}=\sum_{p=0}^{n} \binom{n}{p}^3$$




Y termina el problema.
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Re: Maratón de Problemas

UNREAD_POSTpor Julian_Ferres » Vie 17 Feb, 2017 5:05 pm

Problema 253:

Sean $a,b,c$ reales mayores a $0$ tales que $a+b+c=1$, hallar el máximo valor de $\sqrt{\frac{ab}{a+b}}+\sqrt{\frac{bc}{b+c}}+\sqrt{\frac{ca}{c+a}}$ .
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Re: Maratón de Problemas

UNREAD_POSTpor tuvie » Vie 17 Feb, 2017 5:19 pm

Solucion al Problema 253

Spoiler: Mostrar
Por Cauchy Schwarz, tenemos que $\sqrt{3}=\sqrt{(1+1+1)(\frac{a+b}{2}+\frac{a+c}{2}+\frac{c+b}{2})}\geq{\sqrt{\frac{a+b}{2}}+\sqrt{\frac{a+c}{2}}+\sqrt{\frac{c+b}{2}}}$
Por AM-GM, $\frac{(a+b)^2}{4}\geq{ab}\implies{\sqrt{\frac{a+b}{2}}\geq{}\sqrt{\frac{2ab}{a+b}}}$
Entonces juntando esas dos desigualdades obtenemos que el maximo de la expresion es $\sqrt{\frac{3}{2}}$. Ademas, notemos que cuando $a=b=c=\frac{1}{3}$ se da la igualdad.

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Re: Maratón de Problemas

UNREAD_POSTpor tuvie » Vie 17 Feb, 2017 5:22 pm

Problema 254

Sean $a$, $b$ y $c$ reales positivos tales que $ab+bc+ca\leq{3abc}$. Probar que $a^3+b^3+c^3\geq{a+b+c}$

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Re: Maratón de Problemas

UNREAD_POSTpor Emerson Soriano » Vie 17 Feb, 2017 7:24 pm

Solución al Problema 254.
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Notemos que,

$ab+bc+ca\leqslant 3abc \hspace{0.3cm} \Leftrightarrow \hspace{0.3cm} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leqslant 3 \leqslant 3abc \hspace{0.3cm} \Leftrightarrow \hspace{0.3cm} \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\geqslant \frac{1}{3}\:\:\cdots \:\:(1)$.

Aplicando la desigualdad de Hölder, tenemos

$(a^{3}+b^{3}+c^{3})(ab+bc+ca)(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a})(1+1+1)\geqslant (a+b+c)^{4}\:\:\cdots \:\:(2)$

Pero,

$(a+b+c)^{4}=(a+b+c)(a+b+c)^{3}\geqslant (a+b+c)(3\sqrt[3]{abc})^{3}=27abc(a+b+c)$

Por lo tanto, en $(2)$ se tiene que

$(a^{3}+b^{3}+c^{3})(ab+bc+ca)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geqslant 9abc(a+b+c)$

Pero el equivalente de la expresión de arriba, es

$(a^{3}+b^{3}+c^{3})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}\geqslant 9(a+b+c)$

Luego,

$(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geqslant \frac{9(a+b+c)}{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}}$

Usando $(2)$ llegamos a la siguiente desigualdad:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geqslant \frac{9(a+b+c)}{9}=a+b+c,$

que es a donde queríamos llegar.
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Re: Maratón de Problemas

UNREAD_POSTpor Emerson Soriano » Vie 17 Feb, 2017 7:51 pm

Problema 255.
Hay $n\geqslant 3$ números enteros escritos en una pizarra. Un movimiento consiste en elegir tres números de la pizarra $a$, $b$, $c$, que representen las longitudes de los lados de un triángulo no degenerado y no equilátero, y reemplazar esa terna de números por

$a+b-c,\hspace{0.4cm} b+c-a,\hspace{0.4cm} c+a-b.$

Demostrar que la cantidad de movimientos que se pueden realizar es finita.
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